단위벡터란?

우리는 이전에 벡터를 화살표로 시각화하였습니다 우리는 이전에 벡터를 화살표로 시각화하였습니다 화살표의 길이는 벡터의 크기를 화살표의 방향은 벡터의 방향을 나타냈었죠 화살표의 방향은 벡터의 방향을 나타냈었죠 그리고 수학적으로 표현한다면 한번 생각해봅시다 벡터의 꼬리에서부터 머리까지 수평방향을 기준으로 얼마나 떨어져 있을까요? 그리고 수직방향으로는 얼마나 떨어져 있을까요? 예를 들어, 수평방향으로 이만큼 이동을 하고 그다음 수직방향으로 이 거리를 이동한다고 해보죠 다른 색깔로 바꾸겠습니다 이 거리까지 이동합니다 이 거리를 2라고 하고 이 거리는 3이라고 하죠 벡터로 표현해보죠 이 벡터를 v라고 부르겠습니다 순서가 정해진 2-튜플 벡터로 나타낼게요 수평방향으로 2만큼 이동하고 수직방향으로 3만큼 이동한 벡터를 말이죠 그래서 이런 식으로도 표현할 수 있어요 벡터 v를 이렇게 표현할 수도 있어요 (2, 3) 처럼 말이죠 2-튜플을 다르게 표현하는 방법에 대해서 소개해 드리겠습니다 2-튜플을 다르게 표현하는 방법에 대해서 소개해 드리겠습니다 2-튜플을 다르게 표현하는 방법에 대해서 소개해 드리겠습니다 벡터를 더하고 스칼라배 하는 것이 어떻게 나왔는지도 소개할게요 그러기 위해 일단은 단위벡터를 정의해봅시다 단위벡터를 정의해봅시다 그리고 만약 2차원이라면 각 차원에 적용되는 단위벡터를 정의하겠습니다 만약 3차원이라면 마찬가지로 각 차원에 적용되는 단위벡터를 정의합니다 한번 해봅시다 단위벡터 i를 정의해보죠 단위벡터를 표시하는 방법은 상단에 화살표를 넣는 대신에 위에 모자를 넣습니다 그래서 단위벡터 i에 이 표기법을 쓰길 원한다면 수평방향으로 1단위만큼 갔다고 할 수 있어요 수직방향으로는 전혀 움직이지 않습니다 따라서 이렇게 생겼습니다 따라서 이렇게 생겼습니다 이것이 바로 단위벡터 i입니다 다른 단위벡터도 정의해 봅시다 일반적으로 이것을 단위벡터 j라고 불러요 오직 수직방향으로만 갈 수 있고 수평방향으로는 갈 수 없어요 수평방향으로는 갈 수 없고 수직방향으로 1단위만큼 갑니다 그래서 수직방향으로 1단위만큼 간 것이죠 지금 j는 수직으로 1단위만큼 갔어요 그래서 j는 이것과 같죠 이제 어떤 2차원 벡터든지 간에 i와 j의 합으로 표현할 수 있어요 어떻게 하면 되나요? 물론, 여기 벡터 v가 2만큼 수평으로 이동하고 2만큼 수평으로 이동하고 3만큼 수직으로 이동한 벡터의 합이라고 할 수 있겠죠 따라서 벡터 v는 같은 파란색으로 할게요 만약 길이가 2이고 수평방향으로만 움직이는 벡터를 구하고 싶다면 단위벡터 i를 확장하면 됩니다 i에 2를 곱합니다 벡터 v는 단위벡터 i에 2를 곱한 것과 같아요 그래서 2i는 바로 여기 모든 것 또는 이 모든 벡터가 될 거예요 노란색으로 할께요 여기 이 벡터를 2i라고 볼 수 있습니다 그 다음 3j를 더해보죠 더하기 3j 더하기 3j 더하기 3j 이와 같이 쓸 수 있죠 색을 바꿀게요 다시 한 번, 3j는 여기 이 벡터가 될 거예요 그리고 만약 여기 노란색 벡터를 자주색 벡터에 더해보면 알게 될 거예요 보라색 벡터의 꼬리를 노란색 벡터의 머리에 놓아보죠 그리고 노란색 벡터의 꼬리부터 시작해서 자주색 벡터의 머리로 이동한다면 벡터 v를 구할 수 있어요 따라서 벡터 v는 [2, 3] 같은 열벡터로 나타낼 수 있어요 (2,3)으로도 나타낼 수 있고요 혹은 2에 이 작은 모자를 씌운 i를 곱하고 3에 작은 모자를 씌운 j를 곱한 값을 더해서 표현할 수도 있어요 i는 수평방향에서 단위벡터예요 양의 수평방향에서요 만약 반대방향으로 가야한다면 마이너스를 붙이면 돼요 그리고 j는 수직방향에서 단위벡터예요 다음에 나올 강의에서 보겠지만 일단 3차원으로 이동해서 k를 소개할게요 하지만 이 둘 사이의 변환은 매우 자연스럽습니다 하지만 이 둘 사이의 변환은 매우 자연스럽습니다 2와 3, 2와 3이죠 이와 더불어서 이 표기법을 사용하여 일부 벡터 연산을 해봅시다 다른 벡터를 정의해 볼게요 벡터 b가 있습니다 벡터 b가 있습니다 몇 가지 수를 채워넣어 봅시다 벡터 b는 -1과 단위벡터 i를 곱한 값과 4와 단위벡터 j를 곱한 값을 더한 벡터입니다 이 두 벡터 정의를 고려해 볼 때 벡터 v + 벡터 b는 무엇과 같을까요? 동영상을 멈추고 한번 생각해 보시죠 다시 한 번, 말 그대로 대응하는 성분끼리 더하면 돼요 좋습니다 수평방향에서 무엇을 하는지 생각해보죠 수평방향으로 2만큼 갔고 지금은 -1만큼 갈 겁니다 따라서 수평성분은 2 + (-1)이 됩니다 2 + (-1)이 됩니다 그리고 단위벡터 i를 곱합니다 다시 돌아가서 벡터의 대응하는 성분을 더합니다 그리고 3 + 4 이런 식으로 쓸 수 있죠 3 + 4 여기에 수평 방향의 단위벡터 j를 곱해요 그 결과 모두 같은 색으로 하겠습니다 2 + (-1) = 1i 가 됩니다 그냥 i라고 써도 되요 그렇게 하죠 i라고 쓰겠습니다 2 + (-1) = 1 입니다 1은 벡터 그 자체죠 더하기 3 + 4 = 7 즉, 7j 입니다 이전에 벡터를 어떻게 더하는지 본 적이 있습니다 이와 같이 벡터 b로 표현할 수 있습니다 이와 같이 벡터 b로 표현할 수 있습니다 이처럼 나타낼 수 있죠 [-1 4] [-1 4] 만약 b에 v를 더한다면 대응하는 성분을 더합니다 따라서 대응하는 성분을 더하면 그 벡터들을 열벡터로 보고 2 + (-1) = 1이라고 할 수 있습니다 그리고 3 + 4 = 7 입니다 따라서 이 둘은 정확히 같은 표현입니다 단위벡터 표기법을 사용할 수도 있고 열벡터로도 표현할 수 있어요