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직선의 매개변수 표현

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지금까지 선형대수학에서 했던 것들이 지금까지 선형대수학에서 했던 것들이 당연히 할 줄 아는 것들을 괜히 더 힘들게 배웠다고 생각할 수도 있습니다 벡터에 대해선 이미 알고 있으니까요 미적분을 공부하면서 또는 물리를 공부하면서 벡터에 대해서는 이미 충분히 배웠으니까요 그래서 이번 시간에는 본 적이 없을 만한 내용으로 선형대수학 수업을 준비했어요 이 영상을 보기 전까지는 이해하기 힘들 만한 내용입니다 시작은 마찬가지로 이미 여러분이 할 줄 아는 것을 다른 방식으로 보여줄 것입니다 우선 벡터 몇 개를 정의하겠습니다 굵은 글씨 대신에 위에 화살표로 표시를 할게요 벡터를 정의합니다 위에 화살표로 표시할 수도 있고 진한 글씨로 표현할 수도 있어요 벡터를 정의하겠습니다 R²상의 벡터입니다 벡터 [2 1]가 있습니다 원점을 기준으로 그리면 이렇게 되겠죠 위로 두 칸, 오른쪽으로 한 칸 이것이 바로 벡터 v 입니다 이제, 여러분이 묻겠죠 만들 수 있는 모든 벡터는 무엇이죠? 집합을 정의합니다 만들 수 있는 모든 벡터가 집합 S에 있다고 정의합니다 v와 어떤 상수를 곱합니다 v와 어떤 스칼라 c를 곱합니다 살짝 형식적이지만 c를 실수의 원소라고 하겠습니다 살짝 형식적이지만 c를 실수의 원소라고 하겠습니다 이제 이 집합을 그래프로 나타내면 어떻게 되나요? 원점을 기준으로 그리겠습니다 c는 임의의 실수죠 만약 c를 2라고 한다면 이렇게 해보겠습니다 이 벡터에 2를 곱하면 벡터는 [4 2]가 됩니다 원점을 기준으로 [4 2]를 그려보죠 이렇게 됩니다 바로 이 벡터입니다 처음 벡터와 동일선상에 있어요 같은 직선에 있지만 2배 만큼 더 깁니다 다른 벡터도 해볼까요 v에 1.5배를 합니다 다른 색으로 하죠 계산하면 어떻게 되죠? 1.5 × 2= 3이므로 [3 1.5] 입니다 어디에 있을까요? (3, 1.5)에 있겠죠 여기 있습니다 어떤 수로도 곱할 수 있어요 v에 1.4999를 곱하면 여기에 있겠죠 -0.001을 곱할 수도 있습니다 한번 적어볼게요 0.001과 v를 곱합니다 어디 있을까요? 여기 아주 조그맣게 있겠죠 -0.01을 곱하면 엄청나게 작은 벡터가 만들어지고 그 방향은 반대가 되겠죠 -10을 곱하면 이와 같은 방향의 벡터가 만들어지겠죠 하지만 원점을 기준으로 하는 벡터는 실수 c를 이용하여 나타낼 수 있다는 것을 알 수 있습니다 실수 c를 이용하여 나타낼 수 있다는 것을 알 수 있습니다 이 직선상에 있는 모든 벡터를 그리는 작업을 끝내겠습니다 확실하게 그리겠습니다 방향이 반대인 벡터들 또한 이렇게 같은 직선상에 존재합니다 감이 오지 않나요 따라서 이것은 동일선상에 존재하는 벡터의 집합입니다 적어볼게요 동일선상에 존재하는 벡터의 집합입니다 이 벡터들을 위치벡터로 생각하면 이 벡터를 R²의 점으로 나타냅니다 R²는 모든 방향에 대해서 데카르트 좌표평면이죠 이 벡터를 위치벡터로 본다면 쓰면서 해볼게요 이 벡터를 R²의 좌표로 본다면 이 집합을 수많은 위치벡터로 표현한다면 여기 이 직선에 모두 표현될 것입니다 여기 이 직선에 모두 표현될 것입니다 확실하게 해두죠 기울기는 2입니다 그렇죠? 아, 아니에요 1/2이죠 2만큼 가면 1만큼 올라가죠 2만큼 가면 1만큼 올라가죠 그런데 대수적인 표기법을 너무 많이 쓴것 같아요 하지만 원점을 중심으로 하여 집합의 모든 벡터를 위치벡터로 그린다면 원점을 지나면서 기울기가 1/2인 직선이 됩니다 원점을 지나면서 기울기가 1/2인 직선이 됩니다 만약 이런 설명, 혹은 조건이 없었다면 이 벡터를 아무데나 그렸을 것입니다 그렇죠? 벡터 [4 2]는 여기에 그렸을 것입니다 이것이 동일직선상이라는 것은 시각적으로는 와닿지 않을 것입니다 하지만 이 동일선상에 있다는 것은 의미가 있습니다 원점을 기준으로 그려볼게요 모든 벡터는 원점에서 시작합니다 그들의 꼬리는 원점이고 머리는 좌표평면에 나타낼 수 있을 만큼 갑니다 이것이 위치벡터입니다 그들은 위치벡터일 필요는 없지만 시각화를 위해 이렇게 하도록 하죠 기울기를 따라 원점을 지나는 것만 표현할 수 있었습니다 따라서 직선상의 벡터라고 볼 수 있어요 따라서 직선상의 벡터라고 볼 수 있어요 대수학에서 배운 내용에 의하면 기울기 벡터라고 볼 수 있습니다 만약 이 기울기를 가진 다른 직선을 표현하고 싶다면 어떻게 해야 하나요? 만약 이 기울기를 가진 다른 직선을 표현하고 싶다면 어떻게 해야 하나요? 같은 직선을 나타내거나 (2, 4)를 지나는 평행한 직선 나타내면 어떨까요? (2, 4)를 지나는 평행한 직선을 나타내면 어떨까요? 아니면, 위치벡터를 생각해 보면 이 점은 벡터로 표현할 수 있습니다 이를 x라고 하죠 이것을 벡터 x라고 할게요 벡터 x는 [2 4] 입니다 여기 있네요 이 직선에 평행하면서 (2, 4)를 지나는 직선은 무엇일까요? 이 직선을 여기에 나타내고자 합니다 이 직선을 여기에 나타내고자 합니다 최대한 평행하게 그릴게요 감이 좀 오지 않나요 모든 방향으로 가도록 합니다 이 두 직선은 평행합니다 원점을 기준으로 그린 이 모든 벡터의 집합을 어떻게 나타낼까요? 혹은 모든 벡터를 원점에서 그렸다면 이 직선에 나타날까요? 이렇게 생각해보죠 이 직선에 나타난 각각의 벡터에 대해서 직선상에 있는 임의의 벡터에 벡터 x를 더한다면 이 직선의 대응하는 점에 나타날 것입니다 맞죠? 이렇게 시작해 봅시다 기존의 벡터 v에 -2를 곱합니다 그럼 어떻게 되죠? [-4 -2]이므로 저 벡터가 되겠네요 여기에 벡터 x를 더한다면 어떻게 될까요 -2v + x를 계산합니다 -2v + x를 계산합니다 이 벡터에 (2, 4)를 더하면 되므로 오른쪽으로 2만큼 위로 4만큼 이동합니다 혹은 시각적으로 머리에서 꼬리까지 여기 있다고 할 수도 있어요 따라서 저기 대응하는 점에 위치하게 됩니다 따라서 저기 대응하는 점에 위치하게 됩니다 따라서 저기 대응하는 점에 위치하게 됩니다 그러므로, 집합 S를 v와 스칼라를 곱한 모든 점의 집합으로 정의할 때 원점을 지나는 이 직선을 얻게 됩니다 하지만 또 다른 집합을 정의해보죠 집합 L을 정의하겠습니다 벡터 x가 있습니다 이를 굵은 글씨로 하거나 화살표로 표시합니다 여기에 어떤 스칼라가 있습니다 c라고 할 수 있지만 t라고 하죠 왜냐하면 이것을 직선의 매개변수라고 부를 것이기 때문이에요 따라서 임의의 실수 t에 대해서 v와의 곱을 x에 더합니다 그럼 어떻게 될까요? 이 파란색 직선이 될 것입니다 이 벡터들을 원점을 기준으로 그린다면 파란색 직선이 나옵니다 예를 들어, -2v는 여기 있습니다 예를 들어, -2v는 여기 있습니다 여기에 x를 더하면 이렇게 됩니다 따라서 이 벡터는 종점이 존재합니다 이 직선상에 있겠네요 이것을 가지고 무엇이든 할 수 있습니다 임의의 스칼라와 v의 곱인 이 벡터에 x를 더하면 이 벡터가 됩니다 위치벡터의 관점에서 이 벡터의 종점은 xy평면의 어떤 좌표입니다 xy평면의 어떤 좌표입니다 xy평면의 어떤 좌표입니다 따라서 이 벡터들 중 어떤 것이든 얻을 수 있습니다 이것은 벡터의 집합이고 이 벡터 모두는 점이 됩니다 원점을 기준으로 그릴 때 점은 파란색 직선을 향하게 됩니다 점은 파란색 직선을 향하게 됩니다 여러분은 이렇게 말할 것 같아요 이건 직선을 정의하는데 상당히 어리석은 방법이네요 대수학에서 배웠던 y = mx + b가 뭔지 알죠 기울기를 구하기 위해 두 점 사이의 차를 구하고 치환을 이용합니다 이건 중학교 1학년 혹은 2학년 수준이죠 아주 간단합니다 왜 여기서 이상한 집합을 정의하고 집합과 벡터에 대해서 생각하게 만들며 벡터를 더하는 걸까요? 그 이유는 이건 너무 일반적이기 때문입니다 그 이유는 이건 너무 일반적이기 때문입니다 이것은 R²에서 성립합니다 이것은 R²에서 성립합니다 이 말은 그저 x와 y에 대해서 신경써야 한다는 것입니다 하지만 이 상황에 대해서 대수학 시간에 여러분의 선생님은 3차원에서 어떻게 직선을 표현하는지에 대해 많은 이야기를 하지 않았을 것입니다 어떤 선생님은 가르쳐 주셨을지도 모르지만 4차원, 혹은 5차원에서 어떻게 직선을 나타내는지는 명확하게 알려주지 않았을 것입니다 이것이 바로 우리가 해야 하는 것입니다 여기서 R²의 벡터 v와 x를 정의하였습니다 2차원에서 정의된 벡터지만 임의의 차원으로 확장할 수 있습니다 요점을 정확히 파악하기 위해 R²에서 예시를 하나 더 들어봅시다 이건 직선의 방정식을 구하는 보편적인 대수학 문제죠 하지만 여기서는 이것을 직선에 대한 집합의 정의로 부를 것입니다 두 벡터가 있다고 합시다 벡터 a는 [2 1] 입니다 벡터 a는 [2 1] 입니다 원점에서 그리면 (2, 1)이 되죠 이것이 벡터 a 입니다 그리고 벡터 b가 있습니다 벡터 b는 [0 3] 이라고 하죠 벡터 b는 [0 3] 이라고 하죠 벡터 b는 오른쪽으로는 아예 움직이지 않고 위로만 올라갑니다 따라서 벡터 b는 이렇게 생겼습니다 이 벡터들을 원점을 기준으로 하는 위치벡터라고 하겠습니다 원점을 기준으로 그릴 때 그들의 종점은 특정 위치에 있겠죠 따라서 이 벡터들을 R²의 좌표상에 있는 점이라고 볼 수 있습니다 이것은 R² 입니다 제가 그리는 모든 좌표축은 R²에 있습니다 이 두 점을 지나는 직선에 대한 매개변수가 필요합니다 즉, 방정식이 필요해요 대수학의 관점에서 두 점을 지나는 직선의 방정식이 필요한 것이죠 두 점을 지나는 직선의 방정식이 필요한 것이죠 전형적인 방법은 기울기를 구하고 다시 대입하는 것입니다 다시 대입하는 것입니다 하지만 그 대신 이렇게 해봅시다 이 직선은 두 점을 지납니다 즉, 이 두 벡터는 즉, 이 두 벡터는 이 직선 위에 있습니다 이 직선을 나타내는 벡터는 무엇일까요? 더 나아가서, 어떤 벡터가 임의의 스칼라를 이용하여 직선에 있는 다른 벡터를 표현할 수 있나요? 이렇게 해볼게요 이것을 벡터 b라고 한다면 벡터 b-a는 무엇인가요? 이전 강의에서 배웠죠 벡터 b-a는 이 벡터입니다 이 두 벡터의 차입니다 벡터 b에서 벡터 a를 뺍니다 생각해 보세요 a에서 무엇을 더해야 b가 나오죠? b-a를 더해야겠죠 b-a를 구했으니 이제 어떻게 할지 알죠 b-a를 구했으니 이제 어떻게 할지 알죠 벡터를 빼고, 임의의 스칼라를 곱하면 직선상의 임의의 점이 나옵니다 실수하지 않도록 합니다 스칼라 t와 벡터 b-a를 곱하면 어떻게 되나요? 스칼라 t와 벡터 b-a를 곱하면 어떻게 되나요? 스칼라 t와 벡터 b-a를 곱하면 어떻게 되나요? 무엇을 얻죠? b-a는 이렇습니다 b-a를 원점을 기준으로 그리면 이렇게 됩니다 b-a를 원점을 기준으로 그리면 이렇게 됩니다 b-a를 원점을 기준으로 그리면 이렇게 됩니다 0에서 시작하여 이것과 평행하게 0에서 시작하여 이것과 평행하게 종점까지 그립니다 따라서 어떤 스칼라와 b-a를 곱하면 이 직선 위에 있는 점 또는 벡터가 나옵니다 벡터는 이 직선상에 있습니다 자, 이것은 우리가 원하는 것이 아닙니다 이 직선 혹은 이 집합에 대한 방정식 또는 매개변수를 풀어야 합니다 이 집합을 L이라고 합시다 이 집합이 무엇인지 풀고자 합니다 이 집합을 구하기 위해서 이 직선을 뜻하는 이 식으로 시작합니다 이 직선을 위로 평행이동시키겠습니다 벡터 b를 더합니다 이 직선에 대하여 벡터 b를 더합니다 이 직선에 대하여 벡터 b를 더합니다 여기 어떤 점이든 저쪽에 대응하는 점이 있습니다 따라서 벡터 b를 더하면 위로 평행이동됩니다 따라서 벡터 b를 더하면 위로 평행이동됩니다 따라서 벡터 b를 더하면 위로 평행이동됩니다 임의의 실수 t에 대해서 이 모든 점들은 녹색 직선상에 있을 것입니다 다른 방식으로 벡터 a를 더할 수도 있습니다 다른 방식으로 벡터 a를 더할 수도 있습니다 벡터 a는 이 직선의 임의의 점을 평행이동시킵니다 벡터 a를 더합니다 벡터 a를 더합니다 하지만 어느 쪽이든 녹색 직선으로 향하기 때문에 집합을 이런 식으로도 정의할 수 있습니다 임의의 실수 t에 대해서 a + t(b-a) 입니다 임의의 실수 t에 대해서 a + t(b-a) 입니다 따라서 직선의 정의는 이 두개가 될 수 있습니다 직선의 정의는 이 집합 혹은 이 집합이 될 수 있어요 좀 추상적으로 보이겠지만 실제 수를 대입하면 아주 간단해집니다 단언하건데, 대수학에서 했던 것보다 훨씬 쉬워집니다 a와 b에 대한 집합 L을 구해봅시다 a와 b에 대한 집합 L을 구해봅시다 이 직선을 첫 번째 예시를 통해 구해봅시다 벡터 b, 즉 [0 3]과 t(b-a)를 더합니다 b-a는 뭐죠? 0 - 2 = -2, 3 - 1 = 2 즉, [-2 2] 입니다 t는 임의의 실수고요 여러분에게 이 집합은 복잡해 보이므로 더 쉽게 표현하겠습니다 더 쉽게 표현하겠습니다 점을 나타내겠습니다 이 축을 y축, 이 축을 x축이라 하고 이 값을 x좌표, 이 값도 x좌표 그리고 이 값은 y좌표라고 하겠습니다 그러면 방정식을 세울 수 있겠죠 이것은 사실상 기울기입니다 이것은 사실상 기울기입니다 이것은 x좌표, 이것은 y좌표죠 실수하지 않도록 주의합니다 실수하지 않도록 주의합니다 이 결과값은 벡터 [L1 L2] 입니다 맞죠? 이것은 벡터의 집합이고 이 집합의 임의의 원소는 이렇게 생겼을 것입니다 따라서 이것은 Li입니다 이것은 x좌표, 이것은 y좌표입니다 이것은 x좌표, 이것은 y좌표입니다 이 집합의 형식을 이해하기 위해서 이것을 벡터 x + t(b-a) 의 집합이라고 하겠습니다 이것을 벡터 x + t(b-a) 의 집합이라고 하겠습니다 매개변수 형식으로 나타내겠습니다 여기서 x좌표가 결정되므로 x = 0 - 2t 입니다 x = 0 - 2t 입니다 또한 여기서 y좌표가 결정되므로 y = 3 + 2t 입니다 정리하자면 x = -2t, y = 2t + 3 입니다 정리하자면 x = -2t, y = 2t + 3 입니다 매개변수 방정식에 대해 배운 적이 있다면 이것은 이 직선에 대한 전통적인 매개변수 정의임을 알 수 있습니다 여전히 이렇게 생각할 수도 있겠죠 이건 너무 복잡하고 시간낭비같아요 이 집합 모두를 정의해야합니다 여러분이 과거에 한 적이 없는 것을 보여드리죠 여러분이 과거에 한 적이 없는 것을 보여드리죠 여러분이 과거에 한 적이 없는 것을 보여드리죠 기존의 대수학 수업에선 아마 보지 못했을 것입니다 3차원 공간에 두 점이 있다고 합시다 3차원 공간에 두 점이 있다고 합시다 벡터 하나가 있습니다 P₁이라고 하죠 위치벡터니까요 P₁으로 부르겠습니다 이건 3차원입니다 임의로 만들어 볼까요 [-1 2 7] 입니다 그리고 P₂가 있습니다 이 점 또한 3차원이므로 세 개의 좌표가 필요합니다 x, y, z 좌표가 필요하겠죠 P₂ = [0 3 4] 라고 합시다 P₂ = [0 3 4] 라고 합시다 R³에서 이 두 점을 지나는 직선의 방정식은 무엇일까요? 이 둘은 R³에 속합니다 이 둘은 R³에 속합니다 직선의 방정식에 대해서 직선에 대한 집합을 L이라고 하죠 여기서 골라볼까요 벡터 P₁을 택하겠습니다 여기 벡터의 화살표를 꼭 표시하세요 P₁이 있고 임의의 t가 있습니다 매개변수 방정식을 처음 배울때처럼 t는 시간일 것입니다 t(P₁ - P₂)를 더합니다 여기서 P₁과 P₂의 순서는 상관없습니다 좋은 소식이죠 P₁ - P₂ 로 하죠 P₂ - P₁ 이 될 수도 있어요 t는 양수도, 음수도 될 수 있으니까요 여기서 t는 실수입니다 실제 수를 대입해 봅시다 실제 수를 대입해 봅시다 P₁ - P₂ 는 뭐죠? P₁ - P₂ 는 공간을 좀 확보할게요 -1 - 0 = -1 2 - 3 = -1 7 - 4 = 3 이렇게 되겠죠 그러면, 직선을 벡터의 집합으로 표현할 수 있습니다 원점을 기준으로 나타낸다면 이러한 위치벡터의 집합이 됩니다 녹색으로 할게요 P₁이죠 [-1 2 7] P₂를 넣어도 됩니다 + t [-1 -1 3] 여기서 t는 실수입니다 이 또한 여러분을 만족시키지 못할겁니다 어떻게 3차원에 표현하죠? x, y, z는 어딨죠? x, y, z가 궁금하다면 여기 아래에서 이것을 z축이라고 하죠 이것은 x축이라 하고 y축을 그려봅시다 칠판을 통과하는 듯한 이 축이 y축입니다 칠판을 통과하는 듯한 이 축이 y축입니다 칠판을 통과하는 듯한 이 축이 y축입니다 사실 그래프에 표현하진 않을 것입니다 따라서 x좌표는 기존의 방식대로 구하면 이 항이 되겠죠 이 x좌표를 적어볼게요 따라서 이 항은 x좌표를 결정합니다 그러므로 x = -1 + t(-1) 입니다 그러므로 x = -1 + (-1)t 입니다 그러므로 x = -1 + (-1)t 입니다 이것이 바로 x좌표입니다 y좌표는 이 부분의 합으로 결정됩니다 y좌표는 이 부분의 합으로 결정됩니다 따라서 y좌표는 다음과 같습니다 y = 2 + (-1)t 마지막으로 z좌표는 여기서 결정됩니다 여기 이 t는 임의의 값입니다 여기 이 t는 임의의 값입니다 따라서 z = 7 + 3t 입니다 따라서 z = 7 + 3t 입니다 이와 같이 세 개의 매개변수 방정식이 있습니다 R²에서 했다면 매개변수 방정식은 대수학에서 배운 것처럼 x에 대한 y가 존재하겠죠 매개변수 방정식이 굳이 필요가 없어요 하지만 R³에서 직선을 정의하는 유일한 방법은 매개변수 방정식입니다 만약 x, y, z에 대한 방정식이 있다면 x + y + z = k 는 직선이 아닙니다 이에 대해 나중에 더 이야기하겠지만 이것은 평면입니다 이것은 평면입니다 3차원 공간에서 직선 혹은 곡선을 표현하려면 아니면 어떤 비행 경로를 표현하려면 유일한 방법은 매개변수 방정식을 이용하는 것입니다 만약 3차원 공간에서 총알을 발사하는데 그 총알이 일직선으로 움직인다면 매개변수 방정식으로 표현할 수 있겠죠 따라서 이들은 3차원 공간에서의 직선의 방정식입니다 따라서 이들은 3차원 공간에서의 직선의 방정식입니다 흥미롭지 않나요? 선형대수학이 전에 본적이 없던 문제 혹은 논쟁을 다룬다는 점에서 최초의 강의가 되겠네요 그리고 3차원에만 그칠 필요가 없습니다 그리고 3차원에만 그칠 필요가 없습니다 50차원도 가능해요 50차원상의 직선 혹은 50차원상의 두 점을 지나는 직선에 대한 벡터의 집합을 정의할 수 있습니다 사실 수학적으로 다룰 수 있습니다 사실 수학적으로 다룰 수 있습니다