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대수와 그래프를 이용한 벡터의 덧셈

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벡터 a와 벡터 b 2차원 벡터 두 개가 있습니다 벡터 a와 벡터 b의 합을 어떻게 정의할 수 있을지 한번 생각해 봅시다 여러분이 처음 떠올린 생각은 아마도 둘 다 두 값을 가진 2차원 벡터이니 대응하는 값을 서로 더하는 것일 겁니다 벡터의 합의 첫 번째 값을 여기 두 벡터의 첫 번째 값의 합으로 채우고 6 + (- 4) 6 더하기 -4는 2죠 그리고 벡터의 합의 두 번째 값을 두 벡터의 두 번째 값의 합으로 채웁니다 - 2 + 4는 이번에도 2가 나오네요 2차원 벡터 두 개의 합도 2차원 벡터임을 보았습니다 실수좌표공간에서 생각해보면 둘 다 R²의 벡터입니다 표기법에 익숙해지게 여기에 적어볼게요 벡터 a와 벡터 b 둘 다 R2의 벡터입니다 둘 다 2-튜플이라는 뜻이죠 둘 다 2차원 벡터라는 말입니다 우리가 표기한 방법으로 보면 이해가 되지만 시각적으로 혹은 개념적으로 어떻게 이해해야 할까요? 이 벡터들을 그래프에 그려보면 알겠죠 이 벡터들을 시각적으로 한번 표현해보겠습니다 벡터 a를 봅시다 이 값들은 벡터가 얼마만큼 이동하는지 알려줍니다 수평과 수직, 각 방향으로 말이죠 벡터의 꼬리를 원점에 두면 꼬리를 꼭 원점에 둘 필요는 없습니다만 편의를 위해서 원점에 두겠습니다 수평으로 6칸 가고 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯 수직으로 -2칸 갑니다 벡터 a는 이렇게 생겼습니다 다시 한 번 말하지만 중요한 것은 크기와 방향입니다 크기는 벡터의 길이로 표현되고 방향은 벡터가 가리키는 방향을 말합니다 꼭 강조하고 싶은 점은 벡터를 여기에 그릴 수도 있지만 다른 곳에 그려도 똑같은 벡터라는 점입니다 다 같은 벡터 a입니다 중요한 것은 오직 크기와 방향뿐입니다 그 점을 명심하도록 합니다 이번에는 벡터 b를 그려볼까요? 벡터 b는 수평 방향으로 - 4만큼 갑니다 하나, 둘, 셋, 넷 그리고 수직 방향으로 4만큼 갑니다 하나, 둘, 셋, 넷 만약 꼬리를 원점에 두었다면 머리는 (-4, 4)에 위치할 겁니다 이렇게 그려볼게요 벡터 b를 여기에 그려보았습니다 다시 한 번 말하지만 벡터 b를 이렇게 그릴 수도 있지만 복사 후 붙여넣기를 해볼게요 이런 식으로도 벡터 b를 그릴 수 있습니다 다시 한 번 말하지만 중요한 것은 오직 크기와 방향뿐입니다 여기 있는 녹색 벡터들은 크기가 다 같습니다 길이가 다 같고 방향도 다 똑같습니다 벡터 a와 벡터 b를 그린 방식이 합을 구하는 것과 어떤 연관이 있을까요? 둘의 합을 같은 방식으로 파란색으로 그려보겠습니다 우리가 전에 구한 값에 의하면 벡터의 합은 (2, 2) 이므로 이렇게 그릴 수 있습니다 이것을 어떻게 이해해야 할까요? 보라색 벡터와 녹색 벡터를 더한 것이 이 파란색 벡터와 같다는 점을 말이죠 동영상을 잠시 멈추고 무슨 말인지 한번 생각해 보세요 이렇게 생각해 보세요 여기 있는 보라색 벡터는 이만큼 움직입니다 이곳에서 저곳까지 이동하고 여기에 벡터를 더한다면 이 지점에서 시작해서 녹색 벡터의 꼬리를 저기에 두고 어디까지 가는지 확인해 봅시다 전과 같은 녹색 벡터를 사용하겠습니다 원점에서 시작해서 벡터 a가 저기까지 왔고 저기서부터 시작해서 녹색 벡터가 어디로 갈지 확인해 봅시다 앞뒤가 딱 맞습니다 벡터 a 더하기 벡터 b 벡터 b의 꼬리를 벡터 a의 머리에 둡니다 원점에서 시작해서 벡터 a가 저쪽으로 가고 벡터 b를 여기에 더하면 이렇게 됩니다 원점으로부터 얼마나 움직였나요? 다시 말하자면, 벡터는 이동뿐만 아니라 속도, 전기 가속 등등 여러 가지에 적용될 수 있으나 어떤 경우라도 이처럼 그래프에 그려보면 이해가 쉽습니다 두 벡터의 합인 여기 파란색 벡터를 보세요 벡터 a가 원점에서부터 여기까지 가고 벡터 b의 꼬리를 여기에 두면 벡터합인 파란색 벡터의 머리까지 가게 됩니다 이런 의문점이 생길 수도 있습니다 벡터 a 더하기 벡터 b가 이것이면 벡터 b 더하기 벡터 a는 무엇일까요? 둘이 같을까요? 처음 벡터 합을 구했던 방식으로 대응하는 값을 더한다면 벡터의 합은 똑같을 겁니다 - 4 + 6 은 2이고 4 + (- 2)도 2입니다 하지만, 시각적으로도 일치할까요? 이번에는 벡터 b가 이와 같고 벡터 a가 이와 같다면 잠시만요 벡터 b를 다시 그릴게요 여기에 벡터 b를 두고요 공간이 넓은 곳으로 옮기고 시작하죠 벡터 b를 여기에 두고요 벡터 a를 복사하겠습니다 이게 좋겠네요 복사했습니다 붙여넣기를 해보죠 벡터 a의 꼬리를 벡터 b의 머리에 두면 벡터 a가 이렇게 됩니다 다시 말해, 여기에서 시작하면 벡터 b가 이렇게 되고 여기에 벡터 a를 더하면 여기서부터 저기까지 데려가니 처음 시작한 지점에서부터 이만큼 이동했다고 볼 수 있습니다 이 파란색 벡터의 값이 무엇이죠? (2, 2)입니다 수평으로 2 만큼, 수직으로 2 만큼 이동한다고 볼 수 있습니다 더하는 순서를 바꿔도 결과는 같습니다 시각적으로도 개념적으로도 이해가 되었길 바랍니다