증명: 유리수와 무리수의 곱은 무리수

자 이번 동영상에서는 증명을 할 것입니다. 유리수와 무리수를 곱하면 무리수가 나온다는 것을 증명할 것입니다. 그리고, 이 동영상을 보면서 간간히 일시정지를 누르면서 혼자서 증명할 수 있는지 고민해보는것도 권장합니다. 힌트를 하나 주겠습니다. 모순을 이용하여 증명하는 것입니다. 유리수와 무리수를 곱했을때 유리수가 나온다고 가정한 다음에, 이것을 이용하여 이 무리수가 갑자기 유리수로 변할 수 있는지를 알아봅니다. 한번 시도해봤다고 가정하겠습니다. 조금 생각을 해봅시다. 모순을 이용하여 증명한다고 했는데요, 그러니까 일단 무리수와 유리수를 곱하면 유리수가 나온다고 가정을 해봅시다. 그래서 여기 있는 유리수를 나타내기 위해서 a/b라고 나타냅시다. 그리고 이 무리수는 x 라고 부릅시다. 그러니까 a/b 곱하기 x 는 어떤 유리수가 나온다고 하는거죠. 그것을 m/n이라고 부릅시다. m/n이라고 씁시다. 그러니까 어떠한 유리수가, 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 유리수가, 무리수와 곱해졌을때 유리수가 나올것이라고 가정하는 것입니다. 자, 여기서 어떠한 모순을 만들 수 있을지 봅시다. 이 식을 x에 관하여 풉시다. 가장 편한 방법은 양변을 이 수의 역수만큼 곱해주는 방법입니다. 그러니까, 양변에 b/a를 곱해줍시다. 무엇이 남겠습니까? 이 무리수 x 가 m 곱하기 b, 즉 mb / na 와 같다는 것이죠. 이게 왜 흥미로울까요? 자, 여기서. m은 정수이고, b도 정수이고 즉, 이 분자 전체는 정수입니다. 그리고 이 분모는 어떠한 정수입니다. 그러니까 즉 여기, 어떤 두 정수의 비가 있습니다. 저희는 지금 무리수라고 가정을 한 수를 두 정수의 비로 나타냈습니다. 그렇다면 x는 유리수라는 결론이 나오네요. 이것이 바로 저희가 원하던 모순입니다. 원래 x가 무리수라고 가정을 했으니 말이죠. 즉, 저희의 가정은 이 모순을 낳기 때문에 이 가정은 거짓입니다. 그렇다면 유리수와 무리수를 곱한 결과는 무리수겠죠.