주요 내용

코스: Mathematics 1 > 단원 15

단원 3: 회전이동 (중등1학년)

원점에 대해 도형을 90° 단위로 회전하기

원점을 중심으로 90°배만큼 회전하는 상황에서, 도형의 상을 어떻게 그리는지 배웁니다.

원리

이번 단원에서는 도형을 회전하는 방법을 연습할 것입니다. 수학적으로 말하자면, 회전하는 조건이 주어졌을 때, 주어진 도형을 회전하여 그리는 방법을 배울 것입니다.

이번 단원에서는 양의 방향(반시계방향)과 음의 방향(시계방향)으로의

90^{\circ}

배수 회전을 중점적으로 배울 것입니다.

파트 1: 점을 $90^{\circ}$ ‍, $180^{\circ}$ ‍, 그리고 $- 90^{\circ}$ ‍만큼 회전하기

예제

원점을 중심으로

A (3, 4)

를

90^{\circ}

회전한 결과인

A^{'}

을 구하고자 합니다.

문제를 시각화하여 살펴봅시다. 양의 회전은 반시계방향이므로, 이런 식으로 회전할 것입니다.

A^{'}

을 시각적으로 나타내었습니다. 하지만 정확한 좌표를 구해야 하는데, 두 가지 방법이 있습니다.

풀이법 1: 시각적으로 접근하기

한 꼭지점이 원점이고 반대편 꼭지점이

A

인 직사각형이 있습니다.

90^{\circ}

회전은 마치 직사각형을 옆으로 돌리는 것과 같습니다:

$A (3, 4)$ ‍를 회전한 결과 $A^{'} (- 4, 3)$ ‍이 됩니다.

축에 있는 점들을 회전시키는게 훨씬 쉽고, 이에 따라

A

가 회전된 도형을 구하기 더 쉬워집니다.

점	$(3, 0)$ ‍	$(0, 4)$ ‍	$(3, 4)$ ‍
회전된 도형	$(0, 3)$ ‍	$(- 4, 0)$ ‍	$(- 4, 3)$ ‍

풀이법 2: 대수적으로 접근하기

A

와

A^{'}

를 자세히 살펴봅시다.

점	$x$ ‍좌표	$y$ ‍좌표
$A$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
$A^{'}$ ‍	$- 4$ ‍	$3$ ‍

이 신기한 현상에 주목하세요:

A

의

x

좌표는

A^{'}

의

y

좌표가 되고, 반대로

A

의

y

좌표는

A^{'}

의

x

좌표가 됩니다.

다음과 같이 수학적으로 나타낼 수 있습니다:

$R_{(0, 0), 90^{\circ}} (x, y) = (- y, x)$ ‍

이는

A

에 대해서 뿐만 아니라, 임의의 점에 대하여 참입니다. 여기 몇 가지 예시를 살펴봅시다:

게다가,

180^{\circ}

또는

- 90^{\circ}

회전도 비슷한 패턴을 따릅니다:

$R_{(0, 0), 180^{\circ}} (x, y) = (- x, - y)$ ‍

$R_{(0, 0), - 90^{\circ}} (x, y) = (y, - x)$ ‍

이 성질을 이용하여 적절한 식에 좌표를 대입하면 임의의 점을 회전시킨 도형의 좌표가 나옵니다.

연습문제

연습문제 1

$B (- 7, - 3)$ ‍을 $R_{(0, 0), - 90^{\circ}}$ ‍에 대하여 회전시킨 점을 그리세요.

그래프적 정답

한 점이 원점이고 반대편 점이

B

인 직사각형이 있다고 가정하고, 반시계 방향으로

90^{\circ}

회전시킵니다 (이는

- 90^{\circ}

회전과 같습니다).

직사각형이 없다면, 원래의 점과 이 점을 변환 시킨 것은 다음과 같습니다.

대수적 풀이법

패턴

R_{(0, 0), - 90^{\circ}} (x, y) = (y, - x)

을 이용합니다.

$R_{(0, 0), - 90^{\circ}} (- 7, - 3) = (- 3, 7)$ ‍

연습문제 2

$C (5, - 6)$ ‍을 $R_{(0, 0), 180^{\circ}}$ ‍에 대하여 회전시킨 점을 그리세요.

그래프 풀이법 vs. 대수적 풀이법

일반적으로, 두 가지 방법 중 아무거나 선택합니다. 사람마다 제각각입니다.

대수적 풀이법은 덜 힘들고 시간이 별로 안들지만, 이 패턴을 기억해야 합니다. 그래프 풀이법은 언제든지 마음대로 할 수 있지만, 시간이 더 걸립니다.

파트 2: $90^{\circ}$ ‍의 배수로 확장시키기

예제

원점을 중심으로

D (- 5, 4)

를

270^{\circ}

회전한 결과인

D^{'}

을 구하고자 합니다.

풀이

270^{\circ}

회전은

90^{\circ}

를 세 번 회전시키는 것과 같으므로, 연속적으로

90^{\circ}

회전을 세 번 시행하여 그래프로 구할 수 있습니다:

잠시만요!

270^{\circ}

회전 대신

- 90^{\circ}

회전도 됩니다. 이 두 회전은 동일합니다. 확인해 봅시다:

같은 논리로, 패턴

R_{(0, 0), - 90^{\circ}} (x, y) = (y, - x)

도 사용할 수 있습니다:

$R_{(0, 0), 270^{\circ}} (- 5, 4) = (4, 5)$ ‍

하나 더 풀어보기

원점을 중심으로

(- 9, - 7)

을

810^{\circ}

회전시킨 점을 구하고자 합니다.

풀이

810^{\circ}

회전은 연속적으로

360^{\circ}

회전 두 번,

90^{\circ}

회전 한 번한 것과 같습니다 (

810 = 2 \cdot 360 + 90

360^{\circ}

회전은 모든 점이 자기 자신으로 돌아옵니다. 즉, 아무것도 변하지 않습니다.

따라서

810^{\circ}

회전은

90^{\circ}

회전과 같습니다. 그러므로, 패턴

R_{(0, 0), 90^{\circ}} (x, y) = (- y, x)

을 사용할 수 있습니다:

$R_{(0, 0), 810^{\circ}} (- 9, - 7) = (7, - 9)$ ‍

연습문제

연습문제 1

$E (8, 6)$ ‍을 $R_{(0, 0), - 270^{\circ}}$ ‍에 대하여 회전시킨 점을 그리세요.

연습문제 2

다음 중 회전 $R_{(0, 0), - 990^{\circ}}$ ‍과 동일한 회전은 무엇일까요?

파트 3: 다각형의 회전

예제

아래 사각형

D E F G

가 있습니다. 회전

R_{(0, 0), 270^{\circ}}

에 대한 도형

D^{'} E^{'} F^{'} G^{'}

을 그려봅시다.

풀이

평행이동과 마찬가지로, 다각형을 회전시킬 때, 모든 꼭지점을 회전시키고, 회전시킨 점을 모두 이어서 회전된 도형을 구할 수 있습니다.

연습문제

$△ H I J$ ‍를 $R_{(0, 0), 90^{\circ}}$ ‍에 대하여 회전시킨 도형을 그리세요.

모든 점을 회전시켜 봅시다.

대수적 패턴

R_{(0, 0), 90^{\circ}} (x, y) = (- y, x)

을 이용하여 풀겠습니다.

점 $(x, y)$ ‍	회전된 점 $(- y, x)$ ‍
$H (- 3, 4)$ ‍	$(- 4, - 3)$ ‍
$I (7, - 2)$ ‍	$(2, 7)$ ‍
$J (- 6, - 5)$ ‍	$(5, - 6)$ ‍

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코스: Mathematics 1 > 단원 15

원리

파트 1: 점을 90∘‍ , 180∘‍ , 그리고 −90∘‍ 만큼 회전하기

예제

풀이법 1: 시각적으로 접근하기

풀이법 2: 대수적으로 접근하기

연습문제

연습문제 1

연습문제 2

그래프 풀이법 vs. 대수적 풀이법

파트 2: 90∘‍ 의 배수로 확장시키기

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풀이

하나 더 풀어보기

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연습문제 1

연습문제 2

파트 3: 다각형의 회전

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