변환을 이용한 증명

화면에 보이시는 이 질문은 칸 아카데미의 선과 각 증명 연습 문제입니다 이 질문을 이용해서 선과 각 증명을 정말 연습용으로 사용해봅시다 그리고 이 질문의 진짜 좋은 점은 바로 증명 과정에서 도형의 평행이동과 대칭이동을 사용한다는 것입니다 그럼 질문에서 우리에게 무엇을 알려주고 있는지 살펴봅시다 "직선 AB와 직선 DE는 평행합니다" 그렇군요 "대응각의 크기가 항상 같도록 도형의 평행이동을 증명하고 아래 보기 중 옳은 증명 과정을 고르시오" 그러면 이 밑에 보기에 써 있는 것을 읽어 봅시다 질문에서는 대응각의 크기가 항상 같은 평행이동을 증명해보라고 합니다 그리고 나서는 그 증명 과정을 옳게 설명하는 아래 보기를 고르시오 그림에서 보시다시피 두 개의 대응각을 골라놨네요 이 파이라고 써 있는 각은 왼쪽 밑 각인 것을 보실 수 있습니다 그리고 제타는 밑쪽에 있는 왼쪽 아래 각입니다 이 둘은 서로 대응각입니다 직선 FB는 횡단선이라고 질문에서 알려줬습니다 그리고 직선 AB하고--DE 맞나요?-- 직선 DE와 평행합니다 우리가 증명하고 싶은 것은 두 개의 대응각의 크기가 같다는 것입니다 이것의 증명 방법은 굉장히 여러 가지입니다 칸 아카데미 영상 여러 개에서 다양한 방법을 다루기도 합니다 그러나 이번 문제에서는 도형의 평행이동을 사용하도록 권장하네요 그러면 어떤 것인지 한 번 봅시다 제가 평행이동 버튼을 누르고 직선을 옮기면 여기 4개의 점이 이동한다는 것을 볼 수 있습니다 그러면 이 교점 자체를 통째로 이동하는 것입니다 제가 마우스로 누르고 있는 점 D를 누르고 평행이동 시켜서 점 B로 이동시키면 평행이동 후에도 각의 크기가 변하지 않는다는 점을 꼭 기억하세요 그래서 이렇게 평행이동을 했을 경우에 밑쪽에 제타는 각 CDF입니다 각 CDF를 점 B쪽으로 움직여도 각의 크기는 같아야 합니다 각의 크기는 각 CDF와 정확히 똑같고 저는 그저 각을 평행이동시킬 뿐입니다 평행이동을 해보면 제타와 파이의 각의 크기가 같다는 것을 알 수 있습니다 이것은 하나의 풀이 방법이지요 저는 점 D를 점 B의 위치로 평행이동시켰고, 결과적으로 각 CDF를 각 ABD 위로 평행이동하는 것입니다 이 두 개의 각의 크기가 같다는 것을 보이기 위해서 --한마디로 두 개의 각의 크기가 같다는 점에서 희열을 느끼기 위해서-- 다음 보기들을 읽어 봅시다 아--제가 마우스 움직이는 데 조금 문제가 있네요-- "점 F를 점 D로 평행이동하면" 점 F를 점 D로, 점 F를 점 D로, 저희는 점 F를 점 D로 옮기지 않았습니다 벌써 보기가 의심스럽네요 "선분 DB를 이등분하는 새로운 선을 만듭니다" 선분 DB를 이등분하는 선이라니요, 자, 제가 한 활동에서 이런 모습은 보지 못했으니 그냥 다음 보기로 넘어가겠습니다 "평행이동한 선은 원래 선에도 평행합니다" 이것은 맞는 말입니다 "점 D를 점 B로 옮기는 평행이동은" 제가 방금 시행한 과정이지요 "각 CDF를 각 ABD로 옯기는 것과 같습니다" 딱 제가 시행한 과정이네요 제가 각 CDF를 각 ABD로 옮겼습니다 "평행이동은 각의 크기를 유지하기 때문에" "제타는 파이와 각의 크기가 같습니다" 이 보기는 옳은 것 같네요 "점 D를 점 E로 이동시킨 평행이동은" 저는 이런 과정을 진행하지 않았습니다 저는 한 번도 점 D를 점 E로 옮긴 적이 없고 전혀 도움이 되지 않는 과정입니다 그래도 틀리다는 것을 확실히 하기 위해 보기를 끝까지 읽어 봅시다 "평행사변형을 만듭니다" 점 D를 점 E로 옮기면 평행사변형이 만들어진다는 점은 사실이기는 합니다 평행사변형이 만들어지네요 그러나 파이와 제타의 각의 크기가 같다는 점을 증명하는 데는 전혀 도움이 되지 않습니다 그래서 마지막 보기도 옳다는 느낌은 안 드네요 다행히 두 번째 보기가 맞다는 것을 우리는 이미 알고 있었습니다 이런 문제를 하나 더 해봅시다 문제에서는 직선 AOB가 --그냥 직선 AB라고 해도 됬을 텐데요 그냥 점 O가 직선 AOB 위에 있다는 것을 보여주려고 하는 것 같네요-- 선 AOB와 선 COD는 직선이랍니다 "아래 보기 중에서 어느 것이 맞꼭지각의 크기가 항상 같다는 것을 증명합니까?" 맞꼭지각은 두 선이 만나는 지점에서 서로 마주보는 각입니다 맞꼭지각-- --예를 들어 각 AOC와 각 DOB가 맞꼭지각입니다-- 그리고 이 두 개의 각의 크기가 같다는 것을 증명하기 위해서는 그리고 이 두 개의 각의 크기가 같다는 것을 증명하기 위해서는 결과적으로 제타와 파이의 크기가 같아야 합니다 그러면 아래 보기 중에서 어느 것이 정말로 제타와 파이의 크기를 같게 하는지 봅시다 첫 번째 보기는 선분 OA가 선분 OD와 합동이랍니다 선분 OA와 선분 OD가 합동이랍니다 선분 OA와 선분 OD가 합동인지는 문제에서 알려주지 않았기 때문에 알 수 없습니다 따라서 저는 나머지 보기를 읽어볼 필요도 없습니다 저는 점 D가 점 O에서 얼마나 떨어져 있는지도 모르고 점 A와 점 O 사이의 거리와 같은지도 모릅니다 점 A와 점 O 사이의 거리와 같은지도 모릅니다 따라서 첫 번째 보기는 바로 아니라는 것을 알 수 있죠 제가 뒷 부분을 안 읽어도 되는 이유는 문장이 제가 알 수 없는 내용으로 시작했기 때문입니다 그럼 다음 보기로 넘어가봅시다 "반직선 OA와 반직선 OC가" "점 O를 중심으로 180도 회전하면" "각각 OB와 OD를 만듭니다" "만약 두 반직선이 같은 크기의 각만큼 이동하면" "두 반직선 사이의 각의 크기는 변하지 않으므로" "파이와 제타의 각의 크기는 같습니다" 굉장히 흥미로운 문장이네요 한 번 찬찬히 무슨 내용인지 다시 생각해봅시다 반직선 OA와 OC가 각각 180도 회전합니다 반직선 OA를 누르고 180도 회전시키면 이만큼 돌아서 반대쪽에 있는 점에 도착합니다 결과적으로 반직선 OB를 만듭니다 그럼 확실히 문장의 첫 부분은 맞는 말이네요 OA는 OB를 그리고 반직선 OC를 180도 회전하면 반직선 OD를 그리게 됩니다 따라서 첫 번째 문장은 옳습니다 "반직선 OA와 반직선 OC를" "180도 회전하면 각각" "반직선 OB와 OD를 그립니다" 문제에서 '각각'이라는 말은 같은 순서라는 의미입니다 반직선 OA가 반직선 OB를 그리고 반직선 OC가 반직선 OD를 그린다는 것입니다 우리는 그림을 통해 볼 수 있습니다 반직선 OA를 180도 회전하면 OB를 그리고, OC를 180도 회전하면 OD를 그리게 됩니다 첫 문장 느낌이 굉장히 좋네요 두 개의 반직선이 같은 크기만큼 돌아가면 그 반직선 사이의 각은 변하지 않습니다 자 그럼 특히 회전한다면 맞네요 만약 두 개의 반직선이 같은 크기만큼 회전하면 둘 사이의 각의 크기는 변하지 않습니다 만약 반직선을 둘 다 180도 회전하면 반직선 OB와 OD를 만든 것입니다 다른 방법으로 생각해보면 여기 각 AOC는 각 BOD가 됩니다 따라서 두 개의 각의 크기는 같아집니다 파이는 제타와 크기가 같습니다 저는 이 두 번째 보기가 굉장히 마음에 듭니다 마지막 보기를 확인해 봅시다 "회전을 할 경우에 길이와 각의 크기는 같게 유지됩니다" "AB는 CD와 합동입니다" 사실, 우리는 선분 AB와 선분 CD가 합동인지 알 수 없습니다 둘이 얼마나 서로 멀리 떨어져 있는지 알 수 없습니다 우리는 이미 파이와 제타의 각의 크기가 같다는 것을 알 수 있습니다 굉장히 의심스러운 문장이네요 그래서 저는 마지막 보기가 별로 마음에 들지 않습니다 따라서 저는 두 번째 보기로 가겠습니다 생각하기에는 조금 시간이 걸리기는 하지만 각 AOC를 180도 회전시키면 즉 반직선을 180도 회전시키면 즉 반직선을 180도 회전시키면 각 BOD로 가게 됩니다 그리고 두 반직선 사이의 각의 크기는 그리고 두 반직선 사이의 각의 크기는 변하지 않습니다 따라서 두 번째 보기가 맞는 것 같습니다