등차수열의 점화식과 일반항 변환하기

여기에 함수 h(n)이 있습니디 이 함수는 어떤 수열을 정의 내립니다 이 함수는 어떤 수열을 정의 내립니다 표를 만들어볼게요 표를 만들어볼게요 n이 있고 함수 h(n)이 있습니다 n이 1일 때, h(n)은 -31입니다 -7 곱하기 1 빼기 1은 -7 곱하기 1 빼기 1은 -7 곱하기 (1-1)은 0입니다 그래서 -31이 됩니다 n이 2일 때 -31 곱하기 2 빼기 1이 됩니다 2 빼기 1은 1이 되므로 2 빼기 1은 1이 되므로 -31 빼기 7은 -38이 됩니다 -31 빼기 7은 -38이 됩니다 n이 3일 때 -31 빼기 7 곱하기 3 빼기 1 3 빼기 1은 2입니다 그래서 7을 두 번 빼주면 됩니다 -31 빼기 14는 -45가 됩니다 여기서 무엇을 알 수 있을까요? 이 식들은 전부 -31에서 시작하고 빼기 연산을 계속 하고 있습니다 7을 빼고 있습니다 -31에서 7을 계속해서 빼고 있습니다 실제로 항보다 하나 더 적은 수만큼 7을 빼주네요 n보다 하나 더 적은 수 만큼의 7을 -31에서 빼고 있습니다 세 번째 항을 다루고 있다면 7을 2번 빼줍니다 두 번째 항을 다루고 있다면 7을 한 번만 빼줍니다 다 잘 되고 있지만 지금 영상을 멈추고 이 수열을 정의 내릴 수 있는지 한 번 생각했으면 좋겠습니다 이 수열은 -31에서 시작하고 7을 계속 빼주므로 -38, -45 다음은 -52네요 수열은 계속 이어집니다 계속 7을 빼줍니다 이 수열을 순환 함수로 정의할 수 있을까요? 한 번 해봅시다 순환 함수로서의 정의를 내립시다 그 함수를 g(n)이라고 부릅시다 g(n) 어떻게 보면 순환 함수가 더 쉽습니다 어떻게 보면 순환 함수가 더 쉽습니다 첫 번째 항에서 n이 1일때 그냥 쓸게요 n이 1일 때 n이 1일 때 g(n)은 뭐가 될까요? -31이 됩니다 -31 n이 1보다 큰 양수일 때 n이 양의 정수 즉 양수일 때 정의되는 수열은 앞의 항 즉 g(n-1)에서 7을 빼주는 것과 같습니다 이 수열에서 임의적인 항이 뭔지 궁금하면 그 전 항을 보고 거기서 7을 빼주면 임의적인 항의 값을 알 수 있습니다 이 방법은 수열을 쉽게 정의내립니다 그저 전, 전, 전 항을 보기만 하면 됩니다 계속 전 항을 봐서 초항인 n이 1일 때의 항을 보고 거기서 계속 계산을 하면 됩니다 그러면 h(n)과 똑같은 수열이 나옵니다 다른 예를 들어보겠습니다 이번엔 반대로 해봅시다 여기 순환 함수가 있습니다 여기 순환 함수가 있습니다 여기서 함수를 만들어 봅시다 한 번 생각해 봅시다 이 수열에 대한 또 다른 정의방법은 n이 1일 때 수열은 9.6에서 시작합니다 그리고 모든 항은 전 항에서 0.1을 뺀 값을 가집니다 두 번째 항은 첫 번째 항에서 0.1을 뺀 값이므로, 9.5가 됩니다 그 다음 항은 9.4입니다 그 다음은 9.3 계속 할 수 있습니다 원한다면 여기 작은 표를 만들 수 있습니다 n과 h(n)을 행으로 놓읍시다 n이 1일 때 h(n)은 9.6입니다 n이 2일 때 이 경우에는 h(2-1), 즉 h(1)에서 0.1을 뺍니다 첫 번째 항에서 0.1을 뺀 값으로 9.5가 됩니다 n이 3일 때 h(2)에서 0.1을 빼줍니다 h(2)이 여기 있네요 0.1을 빼면 9.4가 됩니다 여기서 봤던 것과 동일합니다 이제 영상을 멈추고 이 수열을 정의내립시다 이 수열을 양적으로 정의내리는 함수를 만들어봅시다 여기서는 순환 함수로 정의 내렸습니다 우리는 함수로 정의내리고 싶습니다 함수를 f(n)이라 부릅시다 함수를 f(n)이라 부릅시다 9.6에서 0.1을 계속 빼줄 것입니다 0.1을 다루고 있는 항에 따라 특정한 수만큼 빼 줄 것입니다 0.1을 빼는데 n과 관련해서 얼마 만큼의 0.1을 뺄까요? 한 번 봅시다 첫번째 항에서 0.1을 0번 뺍니다 두번째 항에서는 1번 뺍니다 세 번째 항에서는 2번 뺍니다 네 번째 항에서는 3번 뺍니다 어떤 항을 다루든지 간에 그 항의 번호에서 1을 뺀 숫자만큼 0.1을 빼줍니다 즉, n번째 항을 다룰 때 0.1을 n-1만큼 빼줍니다 이 정의가 옳다는 걸 확인할 수 있습니다 n이 1일 때 n-1은 0이 됩니다 -0.1(n-1)이 0이 되므로 9.6이 나옵니다 n이 2일 때 2-1는 1이 나오므로 0.1을 한 번 빼줍니다 9.6 빼기 0.1은 9.5입니다 이것을 계속 반복 할 수 있습니다 표를 그려서 검산할 수도 있습니다 중요한 것은 9.6에서 시작해서 0.1을 (항의 수 - 1) 만큼 뺀다는 것입니다 n이 무엇인지 확인해 본다면 이 경우에 n은 4네요 그럼 0.1을 3번 빼줍니다 다시 보면 0.1을 한 번 빼고 0.1을 두 번 빼고 0.1을 세 번 뺀다는 걸 알 수 있습니다