불능과 부정

여러분이 고대의 철학자이자 수학자이고 수학의 범위를 최대한 확장시켜서 모든 정의 가능한 것들을 정의하려고 노력하는 중이라고 생각해 봅시다 수학에서 확장을 하려고 할 때 특히 곱셈과 나눗셈에서는 주의해야 할 것이 있습니다 나눗셈 연산을 어떤 식으로 정의한다면 그 역연산은 반드시 곱셈이 되어야 합니다 가정을 해봅시다 모든 나눗셈에 대해서 처음에 어떤 수 x를 어떤 수 y로 나누고 다시 y를 곱한다면 그 결과는 원래의 수 x와 같아야 합니다 여기 있는 x가 되어야 합니다 일반적으로 숫자를 곱하고 나누면 이런 결과가 나오죠 3을 2로 나눈 다음 2를 다시 곱하면 3이 됩니다 10을 5로 나눈 다음 5를 곱하면 10이 됩니다 이번에는 이러한 가정을 해 봅시다 모든 x에 대해서 x 곱하기 0은 반드시 0이어야 합니다 이 가정들은 수학을 확장하려고 할 때 매우 중요합니다 확장 결과가 두 가정과 모순되어서는 안 됩니다 둘 중 하나라도 거짓이 되어서는 안 됩니다 이제 0으로 나누는 문제로 다시 돌아가 봅시다 한 번 이 개념을 정의해 봅시다 시작해 봅시다 가장 먼저 x가 0이 아닌 어떤 수라고 가정합니다 x를 0으로 나눈 몫을 찾는 가장 좋은 방법은 이 몫이 이미 정의되어 있다고 가정하고 이 몫의 값을 찾아내는 것입니다 그러면 x를 0으로 나눈 몫이 y라고 가정합시다 아니면 혼돈을 피하기 위해 k라고 합시다 만약 이 등식이 성립하고 0으로 나누는 것이 정의된다면 양변에 0을 곱했을 때 여기 있는 원래 숫자를 얻어야 합니다 가정에 모순되어서는 안 되니까요 어떻게 되는지 봅시다 x 나누기 0은 k이고 좌변에는 0으로 나누어져 있으니 0을 곱하고, 양변이 같으므로 등호가 계속해서 성립하도록 하려면 우변에도 같은 연산을 해 주어야 합니다 이 값과 이 값은 같습니다 좌변과 우변에 모두 0을 곱했습니다 이 가정에 따르면 좌변은 반드시 x가 되어야 합니다 역시 이 가정에 따르면 이쪽 우변은 반드시 0이 되어야 합니다 그런데 이는 모순입니다 x는 0이 아니라고 가정했었는데 여기서는 x=0이 됩니다 주어진 두 가정을 충실히 따랐습니다 0으로 나누는 것을 정의하는 과정에서 같은 수로 나눈 다음 다시 곱하면 원래 수로 돌아온다는 첫 번째 가정과 임의의 수에 0을 곱하면 0이 된다는 두 번째 가정은 반드시 만족시켜야 합니다 이 모든 것들 중에서 틀렸을 가능성이 있는 유일한 것은 바로 이 부분입니다 따라서 결론적으로 k는 정의가 되지 않는다는 것을 알 수 있습니다 이런 모순이 일어난 이유는 x/0을 정의하려고 시도했기 때문입니다 따라서 x/0은 정의되지 않습니다 이 경우는 x가 0인 경우였는데 x가 0인 경우라면 어떻게 될까요? 생각해봅시다 이번에도 0으로 나누는 것을 정의할 수 있다고 가정해 봅시다 0/0은 어떤 수라고 가정합니다 이번에도 k라고 써 봅시다 이번에도 똑같은 논리로 0/0을 k라고 놓습니다 이 0들을 색깔로 구분합시다 분자의 0은 분홍색으로 분모의 0은 파란색으로 구분했습니다 이번에도 초기 두 가정을 따르려고 합니다 x를 어떤 수로 나눈 다음 다시 곱하면 원래 수인 x로 돌아온다는 가정을 만족시켜야 합니다 이 가정과 어긋나면 나눗셈이 제대로 정의되었다고 할 수 없습니다 좌변에 0을 곱하겠습니다 이 중요한 가정에 의해서 좌변은 분홍색 0이 됩니다 이번에도 역시 등식이 성립하도록 하려면 다른 한 쪽에도 같은 연산을 해야 합니다 처음에 등식이 성립했으니 양변에 같은 연산을 해야 등식이 성립합니다 우변에도 0을 곱하겠습니다 좌변에는 0 자세히는 분홍색 0이 되었고 우변은 곧바로 0이라고 써도 되지만 k 곱하기 0이라고 쓰겠습니다 사실 이 결과는 모순이 아닙니다 이 결과는 모든 k에 대해 성립합니다 이 결과 역시 매우 중요한 처음 가정 중에 하나였습니다 이 결과는 모순이 아니라 모든 k에 대해 참입니다 하지만 문제가 한 가지 있습니다 그래서 결국 k의 값을 구하면 어떻게 될까요? 0이거나, 1이거나 -1일까요? 하지만 여기 가정에서 k가 어떤 값인지에 상관없이 등식이 성립합니다 k가 어떤 수인지 정할 수 없다는 것입니다 k는 100,000이 될 수도 있고 75가 될 수도 있습니다 어떤 k를 택해도 이 등식은 성립합니다 이 상황에서는 k가 얼마인지 정할 수 없습니다 그래서 옛 수학자들은 0/0이 무엇이 될지 모르고 정해진 답이 없으니 정의되지 않는다고 결론 내렸습니다 여러 답들 중 유일한 답이 없으니까요 하지만 이 경우는 1/0과 미묘한 차이가 있습니다 이 값은 아예 정의가 되지 않습니다 명백히 가정과 모순이 되니까요 반면 0/0은 어떤 것이든 가능하고 그저 유일한 답을 구하는 것이 불가능한 것입니다 그래서 좀 더 수학을 공부한다면 미적분학 과정에서 0/0은 가늠할 수 없다고 정의합니다