행 사다리꼴 행렬을 이용하여 3차연립방정식과 4개의 변수 풀기

여기 4개의 미지수가 있는 3개의 방정식이 있습니다 이미 알고 있듯이 미지수가 식보다 많으면 제한 없이 무한히 많은 해를 얻을것 입니다 이 무한히 많은 해들도 제한될 수 있습니다 이 상황을 4차원 공간이라고 생각해 봅시다 4개의 미지수가 있으니까요 4차원이면 평면으로 제한될 수 있습니다 만약 3차원 공간을 다루는 경우라면 선으로 제한될 수 있습니다 선은 무한한 해들이지만 더욱 제한되었죠 이 선형방정식을 풀어 봅시다 이전에 소거법으로 해 본 적이 있죠 저는 여기에서 행렬을 도입하고자 합니다 제가 도입하려는 행렬은 이 방정식들을 간소화한 수들의 나열입니다 행렬을 만듭시다 계수행렬을 만들면 깔끔하게 써보죠 계수행렬은 간단히 이 선형방정식 좌변에 있는 계수들이 됩니다 1 1 2 2, 2, 4 2, 2, 4 1, 2, 0 x₃ 항이 없기 때문에 x₃ 항이 없기 때문에 x₃ 의 계수를 0이라고 할 것입니다 1, -1, 6 맞게 되었다면 이 행렬이 바로 여기 있는 연립방정식들의 계수행렬이 될 겁니다 여기서 하고자 하는 것은 방정식과 동일한 첨가행렬을 만드는 것입니다 만들어 보죠 이렇게 선을 그리고 옆에 7, 12, 4라고 쓰죠 이것은 단지 방정식들을 쓰는 다른 방법입니다 위치를 보면 이 계수들은 x₁의 것이고 이 계수들은 x₂의 것인데 이 행렬은 x₁과 x₂를 매번 쓰지 않도록 도와줍니다 여기에도 같은 작업을 할 수 있습니다 원래 했던 것처럼 말이죠 스칼라가 곱해진 방정식 다른 방정식이 더해진 방정식처럼 어떠한 방정식이든 행렬로 대체할 수 있습니다 스칼라에 대해서 방정식을 나누거나 곱할 수 있습니다 뺄 수도 있고 바꿀 수도 있습니다 방정식을 풀듯이 해봅시다 우선, 전에 했던 것처럼 이 방정식의 형태를 변화시켜봅시다 가능한 한에서 어떤 행이든 선행계수가 1이 되고 그에 해당하는 열의 나머지 수들이 0이 되도록 말이죠 저번에 1 아래에 있는 모든 값들이 0이 되도록 한 적이 있죠 지난 강의에서 벡터의 선형독립 여부를 알아보기 위해 해봤습니다 만약 어떤 행에 첫 번째 계수로 1이 있다면 그와 같은 열에 있는 다른 모든 계수들이 0이 되도록 할 것입니다 만들고자 하는 이러한 형태를 기약행사다리꼴이라고 합니다 써보겠습니다 기약행사다리꼴 이 첨가행렬을 행렬 A라고 한다면 행렬 A의 기약행 사다리꼴을 구해 봅시다 관례적으로 행렬은 벡터처럼 굵은 글씨로 표기합니다 하지만 벡터와는 달리 대문자를 사용하죠 행렬이 어떻게 벡터와 관계되어 있는지는 나중에 더 이야기 해보죠 이 연립방정식을 풉시다 우선적으로 해야 할 것은 이것들을 0으로 만드는 것입니다 이것을 저것으로 바꾸고 첫 행에서 두 번째 행을 뺍니다 해보죠 첫 행은 바뀌지 않아요 1, 2, 1, 1 여기는 7 첫 번째 행입니다 이제 두 번째 행입니다 첫 번째 행에서 두 번째 행을 뺍니다 그래서 1 - 1 = 0 2 - 2 = 0 1 - 2 = -1 1 - (-1) = 2 1 + 1이 되죠 7 - 12 = -5 이제 이 행을 없애죠 이것을 없애고 싶은게 아니에요 여기 2를 없애고 싶어요 0으로 만듭시다 이 행에서 위 행의 2배를 뺀 것으로 이 행을 대체합시다 이 행에서 이 행의 2배를 빼 줍시다 이걸로 대체할 겁니다 2 - 2 × 1 = 0 4 - 2 × 2 = 0 0 - 2 × 1 = -2 6 - 2 × 1 = 4 4 - 2 × 7 = -10 이제 다음에 할 것은 이것들을 봤을 때 이 행의 의미를 얘기해 보자면 갑자기 0이 되었고 아무것도 없죠 만약 이곳에 0이 아닌 항이 있었다면 이제 그 항을 0으로 만들어 주고자 했을 겁니다 하지만 지금은 이미 0이 되어버렸죠 그렇다면 다음 행으로 옮겨갑시다 먼저 할 것은 이 선행계수를 1로 바꾸는 것입니다 이 행 전체에 -1을 곱해 줍시다 곱한다면 행렬을 다시 쓸 필요도 없죠 이것은 1, -2, 5가 됩니다 무슨 말인지 알죠? 이제 무엇을 해야 할까요? 이것을 0으로 바꿉시다 이 첨가행렬을 새로운 형태로 다시 씁시다 가운데는 그대로 써줍니다 가운데 행은 0, 0, 1, - 2 그리고 5 여기의 -2를 없애고 싶어요 이 행의 2배를 이 행과 더합시다 -2 + 2 = 0 이니까요 이제 얻는것이 0으로 시작하여 -2 + 2 × 1 0이죠 4 + 2 × -2 4 + (-4) = 0이 됩니다 이제 -10 + 2 × 5 -10 + 10 = 0입니다 0이 되었군요 일반적으로 소거법을 적용하다보면 선행계수가 1인 상황이 나왔을 때 기분이 좋습니다 아래의 모든 값들이 0이 되죠 하지만 1 위에 있는 값들은 크게 고려하지 않았습니다 이제는 이 값들도 0으로 만듭니다 이것을 0으로 만들죠 첫 번째 행을 첫 번째 행에서 두 번째 행을 뺀 것으로 바꿉니다 1 - 0 은 1입니다 2 - 0 = 2 1 - 1 = 0 1 - (-2) = 3 7 - 5 = 2 여기 있습니다 기약행사다리꼴 행렬을 얻었습니다 기약행 사다리꼴 행렬을 얻었습니다 굵게 쓰겠습니다 이것이 기약행 사다리꼴인 이유는 각 행의 선행계수 1이 있기 때문입니다 그 1들은 어디있나요? 여기, 또 여기 이들은 각 열에서 유일하게 0이 아닌 수입니다 이것을 피벗성분(pivot entry)이라고 합니다 표시하겠습니다 이 수는 피벗성분입니다 이 수는 피벗성분입니다 이 수들은 각 열에서 유일하게 0이 아닌 성분입니다 0으로 된 행이 있다면 여기 있네요 이것을 0으로 된 행이라고 합니다 관습적으로 기약행사다리꼴에서 마지막 행이 됩니다 모든 선행성분은 1이어야 합니다 예를 들면 이 자리에는 5가 들어갈 수 없어요 5일 때에는 방정식을 5로 나누어 각 행의 선행성분이 1이 되도록 해야합니다 연속적인 행에서 선행성분은 이전 행의 선행성분보다 오른쪽에 있습니다 여기 이 1은 이 위의 1보다 오른쪽에 있죠 이것 역시 기약행사다리꼴에 있는 관례입니다 0으로 된 행이 있다면 마지막에 있을 것입니다 마지막으로 여러 번 언급했지만 이 성분은 행에서 유일하게 0이 아닙니다 무슨 말일까요? 이제 선형방정식으로 돌아오도록 합시다 이 수들은 x₁의 계수입니다 이 수들은 x₂의 계수 이 수들은 x₃ 이 수들은 x₄의 계수이고 이 수들은 상수입니다 이 수들을 기약행 사다리꼴을 이용하여 다시 쓸 수 있습니다 x₁ + 2x2 x₃은 없습니다 + 3x4 = 2 입니다 이 방정식은 x₁, x₂가 없습니다 x₃ - 2x4 = 5 여기는 식이 없습니다 0으로 된 행입니다 이 연립방정식을 이런 연립방정식으로 간단히할 수 있습니다 피벗성분과 관련된 변수는 피벗변수라고 합니다 x₁과 x₃은 피벗변수이죠 피벗변수입니다 피벗성분과 관련이 없는 변수는 자유변수라고 합니다 x₂와 x₄는 자유변수입니다 이제 피벗변수에 대해서 푸는 것만 남았습니다 자유변수는 어떤 변수로도 세울 수 있습니다 초반에 얘기했던 것처럼 미지수보다 식이 적으면 해가 제한되지 않은 것입니다 R4에서 방정식의 해는 점 하나만 있지 않을 것입니다 점 여러 개가 있을 것입니다 일단 뭐라도 할 수 있는 피벗변수를 풀어 봅시다 이 방정식은 이렇게 됩니다 x₃ = 5 + 2x4 x₁ = 2 - 2x2 - 3x4 x₁ = 2 - 2x2 - 3x4 이 항들을 방정식의 양변에서 뺀 것입니다 이것이 연립방정식을 최선을 다해 푼 결과입니다 자유변수는 어떠한 값이든 선택할 수 있습니다 x₃을 구하기 위해서 x₂와 x₄에 어떤 값이든 넣을 수 있습니다 좀 더 잘 보이도록 약간 다르게 적어 봅시다 물론, 4차원 상에서 시각화는 상당히 어렵습니다 따라서 이 해집합에 대해 좀 더 나은 시각화를 할 수 있습니다 이렇게 써보죠 이 해들을 벡터 형태로 나타내본다면 벡터 x₁, x₂, x₃, x₄로 나타낼 수 있습니다 이 벡터는 무엇과 같을까요? 써 보죠 그냥 다시 쓰는겁니다 이 해집합을 벡터 형태으로 쓰는 것입니다 x₁은 2+ x₂ 이렇게 씁시다 + x₂ × 어떤 벡터 + x₄ × 어떤 벡터 + x₂ × 어떤 벡터 + x₄ × 어떤 벡터 x₁ = 2 - 2x2 - 3x4 입니다 여기에 -2를 넣고 -3x4 이므로 여기에 -3을 넣습니다 이 벡터의 첫 번째 성분은 저 식을 그대로 나타냅니다 x₁ = 2 - 2x2 - 3x4 입니다 x₁ = 2 - 2x2 - 3x4 입니다 x₃는 어떨까요? x₃는 다음과 같습니다 여기에 5를 넣습니다 + 2x4 x₂는 없습니다 그냥 0을 넣읍시다 0x2 + 2x4가 됩니다 이제 x₂는 무엇일까요? x₂ = 0 + x₂ + 0x4라고 할 수 있습니다 x₂ = 0 + x₂ + 0x4라고 할 수 있습니다 x₂ = 0 + x₂ + 0x4라고 할 수 있습니다 x₂ 더하기 0 곱하기 0곱하기 x₄ x₂ = x₂이므로 자유변수입니다 x₄는 어떨까요? x₄ = 0 + 0x2 + x₄입니다 무슨 말일까요? 자, 갑자기 해를 세 백터의 선형결합으로 나타냈습니다 이것은 벡터입니다 이것은 또한 좌표로 볼 수 있습니다 위치벡터로도 볼 수 있습니다 이것은 R4의 벡터입니다 이 벡터를 위치벡터 혹은 R4의 좌표로 볼 수 있습니다 해집합은 무조건 R4 안에 있습니다 이들은 성분이 4개이지만 R3에서 상상해볼 수 있습니다 해집합은 이 벡터와 같습니다 바로 이 벡터 말이죠 이 위치벡터를 생각해 보세요 이 좌표는 (2, 0, 5, 0) 입니다 명백히 4차원상에 있습니다 이 벡터는 이 두 벡터의 배수와 같습니다 이 벡터를 벡터 a라고 이 벡터를 벡터 b라고 합시다 해집합은 바로 여기 있는 점들을 말합니다 위치벡터라고 해도 좋을 것 같습니다 이 위치벡터는 이렇게 생겼습니다 원점에서 시작해서 이 두 벡터의 배수를 더해줍니다 벡터 a는 색을 다르게 해보죠 벡터 a는 다음과 같습니다 벡터 a는 다음과 같습니다 벡터 b는 다음과 같습니다 이것이 벡터 b 저것이 벡터 a입니다 시각화하는게 문제를 푸는데 쉬울지 아닐지는 모르겠습니다 왜냐하면 4차원을 다루고 있는데 2차원 평면에서 나타내고 있기 때문이죠 여러분은 상상할 수 있을 것입니다 해집합은 이 고정점 즉 위치벡터와 해집합은 이 고정점 즉 위치벡터와 벡터 a와 b의 선형결합의 합과 같다는 것을 말이죠 당연히 R4에서 이야기하고 있습니다 써 봅시다 R4입니다 그러나 a와 b의 선형결합은 평면을 만듭니다 a에 2를 곱하고 b에 3을 곱하거나 a에 -1을 곱하고 b에 -100을 곱할수도 있습니다 이 a와 b의 선형결합을 계속 더하고 빼고 할 수 있습니다 이것은 결국 위치벡터 혹은 점 (2, 0, 5, 0)을 포함한 평면을 이루게 됩니다 따라서 4개의 미지수를 가진 3개의 방정식의 해는 R4 상의 평면입니다 이렇게 시각화하는 게 힘든 걸 압니다 어쩌면 다음에는 3차원을 다룰지도 모르죠 충분히 이해했기를 바랍니다 첨가행렬이 무엇인지 기약행사다리꼴이 무엇인지 그리고 연립방정식을 망치지 않고 행렬에 실행할 수 있는 유효한 연산이 무엇인지 말이죠