행 사다리꼴을 이용하여 선형계는 해가 없다는 것을 알아보기

여기 네 개의 변수로 이루어진 세 개의 선형방정식들이 있습니다 기약행사다리꼴행렬에 대해서, 그리고 확대 행렬을 이용하여 연립 선형방정식에 대해서 풀어본 첫 번째 강의에서처럼 변수보다 식의 수가 적네요 그러므로 답을 풀지 못할 수도 있겠죠 아니면 무수히 많은 답을 가질 수도 있을 것입니다 어떤지 살펴봅시다 이 연립방정식들에 대해서 확대행렬을 만들어보도록 합시다 x1의 계수들은 [1; 1; 2] 입니다 x2의 계수들은 [2; 2; 4] 이구요 x3의 계수들은 [1; 2; 0]입니다 세 번째 식에는 x3항이 없으므로 계수를 0으로 놓으면 되겠습니다 x4의 계수는 [1; -1; 6]입니다 등호의 오른쪽에는 [8; 12; 4]가 있겠네요 방금 만든 확대행렬을 기약행사다리꼴행렬로 바꾸어봅시다 제일 먼저 하고 싶은 것은, 이 두개의 행들을 모두 0으로 설정하는 것입니다 어떻게 할 수 있을까요? 일단 첫 번째 행은 그대로 둘 것입니다 [1 2 1 1 | 8] 이 되겠죠 기호 | 는 등호를 의미합니다 여기서 할 수 있는 것은 두 번째 행을 두 번째 행에서 첫 번째 행을 뺀 것으로 대체하는 것입니다 1-1=0, 2-2=0, 2-1=1, 1-(-1)=2 12-8=4 이므로 [0 0 1 2 | 4] 가 될 것입니다 지금까지는 잘 해온 걸로 봐서는, x2를 나타내는 두 번째 열이 자유변수가 될 수도 있을 것 같지만 100% 확신은 하지 않도록 합시다 모든 행에 대해서 연산합시다 세 번째 행도 0으로 설정하려면, 세 번째 식을 세 번째 식에서 첫 번째 식에 2를 곱한 것을 뺀 값으로 대체해봅시다 2-2x1=0, 4-2x2=0 0-2x1=-2 6-2x1=4 6-2x1=4 4-2x8=4-16 4-2x8=4-16=-12이므로 [ 0 0 -2 4 | -12] 가 되겠네요 그 다음엔 어떻게 하죠? 여기 이 -2를 없앨 수 있을지 한번 살펴봅시다 확대행렬을 다시 써볼게요 이번에는 두 번째 행을 그대로 두겠습니다 [ 0 0 1 -2 | 4 ] 여기 | 부분은 등호와 같은 것이죠 이제 무엇을 할 수 있을까요? 여기 0을 없애보겠습니다 기약행사다리꼴 행렬을 만들고 싶으니까요 기준이 되는 항목은 항상 계수 1을 가질 것입니다 이것은 행에서 유일한 0이 아닌 항목이어야 하죠 그렇다면 이 1은 어떻게 없앨까요? 첫 번째 행을, 첫 번째 행에서 두 번째 행을 뺀 것으로 대체할 수 있습니다 1-0=1, 2-0=2, 1-1=0, 1-(-2)=3 1-(-2)=3 8-4=4, 그러므로 [1 2 0 3 | 4] 가 되겠죠 이 부분에 대해서는 어떻게 할 수 있을까요? 세 번째 행을, 세 번째 행에 두 번째 행에 2를 곱하여 더한 것으로 대체할 수 있습니다 그렇죠? 이렇게 하면 소거되겠죠 연산해봅시다 0+2x0=0 0+2x0=0, -2+2x1=0 4+2x(-2)=4-4=0 -12+2x4= -12+2x4=-12+8=-4 가 되겠네요 [0 0 0 0 | -4]로 쓸 수 있습니다 자, 이제 흥미롭죠? 방금 기약행사다리꼴 행렬로 바꾼 것과 같습니다 기준 성분은 두 개가 있죠, 여기에 하나 그리고 여기에 하나 있습니다 이 성분들이 각각의 열에서 유일한 0이 아닌 항입니다 이건 약간 스타일의 문제인데요 이 기준 성분이 다른 기준 성분보다 아래쪽 행에 존재합니다 다른 기준 성분보다 오른쪽 열에 존재하기도 합니다 방금 관찰한 걸로는 두 번째 열이 자유변수처럼 보이네요, 기준 성분이 없습니다 연립방정식으로 되돌아가서 살펴보도록 합시다 이 성분들은 저에게 단순한 숫자로만 다가오기 때문에 기계적으로 방금 기약행사다리꼴행렬로 바꿔 썼습니다 컴퓨터와 비슷하죠 연립방정식에 다시 대입하여 결과를 알아봅시다 1 곱하기 x1, 노란색으로 써볼게요 1×x1+2×x2+0×x3 1×x1+2×x2+0×x3+3×x4=4 물론 이 항은 적을 필요도 없었겠죠 0으로 소거되는 항은 쓰지 않을게요 다음 행으로 넘어가면 0×x1+0×x2+1×x3... 써보겠습니다 1×x3 항만 쓰면 되겠죠 1×x3-2×x4=4 가 되겠습니다 마지막 행은 어떻게 쓸 수 있죠? 0×x1+0×x2+0×x3+0×x4 이므로 0이 나오는데, 등호의 왼편을 비워둘 수는 없으므로 0=-4 라고 쓰겠습니다 말이 되지는 않죠? 0이 -4와 같다니요 이건 무의미한 제약입니다 말이 안돼요 0은 절대 -4와 같을 수 없습니다 말이 되지 않죠 그 말은 곧 세 개의 연립방정식의 교점, 즉 세 식을 모두 만족하는 답을 찾는 것은 불가능하다는 것입니다 이 강의에 첫 부분에서 식을 처음 접했을 때 네 개의 변수가 있는 세 개의 식이 있다고 했었습니다 무한한 해가 있을 수도 있다고 했었죠 하지만 이 세 평면은, 평면이라고 할 수 있죠 4차원의 공간에서 교차하지 않는 것 같습니다 그렇죠? 각각의 벡터가 네 개의 성분으로 구성되어 있으므로 또 우리는 네 개의 변수가 있으므로 4차원의 공간이라고 생각해볼 수 있겠네요 4차원의 공간을 시각화하기는 힘듭니다 반면 3차원의 공간에서는 가능하므로, 3차원의 공간에 두 개의 평면이 있다고 가정합시다 여기 한 개의 평면이 있고, 그에 완전히 평행한 평면이 한 개 있다고 합시다 처음 평면에 완전히 평행한 평면이요 이 두 개의 평면이 3차원의 공간에 있겠지만, 예시를 들어 살펴봅시다 첫 번째 평면의 식은 3x+6y+9z=5 두 번째 평면의 식은 3x+6y+9z=2 라고 해봅시다 3차원 공간의 이 두 평면들은, 3차원이라는 것을 명시하겠습니다, 이 두 평면들은 절대 직교하지 않을 것입니다 왜냐하면 이 식은 계수들이 더해져서 5가 되고 이 식은 같은 계수들이 더해져서 2가 되기 때문이죠 만약 이렇게 명백히 보이지 않았다면 세 개의 변수가 있는 두 개의 식이 있으므로 무한한 해가 있다고 생각했을 수도 있을 것입니다 하지만 그 경우가 아니라는 것을 알죠 왜냐하면 위 식에서 아래 식을 뺄 수 있기 때문이죠 그렇게 하면 뭐가 나오죠? 아주 익숙한 형태, 그러니까 위 식에서 아래 식을 뺀다면 3x-3x+6y-6y+9z-9z 이곳에 써보도록 하죠 3x-3x+6y-6y+9z-9z=0, 결국 0=5-2=3이 나오게 됩니다 0=5-2=3이 나오게 됩니다 우리가 저 위에 아까 했던 것과 굉장히 비슷하죠? 그러므로 3차원의 공간에서, 두 개의 평행한 평면이 있을 때 혹은 어떤 두 개의 평행한 식이 있을 때, 그 둘은 교차하지 않을 것입니다 그러므로, 기약행사다리꼴행렬로 바꿀 때, 혹은 단순 소거법을 사용하여 연립 방정식을 풀 때, 0이 어떤 수와 같다는 식에 도달하게 되면, 해가 없다고 할 수 있습니다 해가 없다고 할 수 있습니다 단순히 말해, 0이 어떤 것과 같다는 식이 나오면 해가 없는 것입니다 기준 성분의 개수가 같을 때 기준 성분의 개수가 열의 개수와 같을 때, 여기에 써볼게요 0=a라는 식이 나오면 해가 존재하지 않습니다 3차원의 공간에 대해서 다룰 때는 평행한 평면이, 2차원에서는 평행한 선이 있을 것입니다 기준 성분이 열의 개수만큼 존재할 때 그러니까 예를 들어 4차원의 공간에서 다음과 같은 행렬이 굳이 다 0으로 채우지 않아도 알겠죠, [a b c d]와 같은 행렬이 존재한다면 유일한 해가 존재합니다 그리고, 자유변수가 있다면 다음과 같은 자유변수가 있다면 다음과 같은 자유변수가 있다면 마지막 행은 0만 있다고 해보죠 그렇다면 마지막 행은, 모든 변수에 대해 0이므로 해가 존재하려면 이곳 역시 0이어야만 합니다 다른 항들은 임의의 상수라고 두면 되겠죠 각각 5, 2라고 해봅시다 이 행렬이 우리가 계산한 기약행사다리꼴행렬이라면 몇 개의 자유변수가 있겠군요 이 부분을 자유 열 이 부분 역시 어느 정도 자유 열이라고 할 수 있겠습니다 기준 성분이 없기 때문입니다 이 1들이 기준 성분이 되겠죠 이 열이 x2를나타내고 저 열이 x4를 나타낸다고 합시다 이 열들은 자유 변수이므로 그 어떤 임의의 수와 같다고 둘 수 있습니다 그렇다면 무한한 해를 갖거나 유일한 해를 갖지 않겠죠 우리가 봤던 첫 번째 예시와 같네요 이 세가지 경우들은 여러분들이 가장 자주 보는 세 가지에 해당하므로 익숙해지는 것이 좋겠습니다 0=-4 나 0=3 같은 경우들에 당황하지 않도록요 혹은 엄청 많은 0들이나 많은 행들을 보고 당황하지 않도록요 이 부분을 확실히 하고 싶군요 가끔 여러분은 추가된 열 벡터의 왼쪽에 많은 0들을 보고 당황해서 유일한 해가 없거나, 해가 무한하다고 생각할 수 있습니다 하지만 이 항목을 잘 봐야 합니다 이 모든 항목이 0일 경우에만 자유 변수가 존재하고, 무한한 해가 있을 것입니다 0=a 같은 식이 나온다면 예를 들어 이 항목이 7이라면 이 행렬에 대한 해가 존재하지 않을 거에요 평행한 평면들을 다루기 때문에요 이번 강의도 여러분에게 도움이 되었으면 좋겠네요