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정비례와 반비례 관계의 변수란?

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정비례와 반비례에 대해 배워보겠습니다 왼쪽에서는 정비례를 공부하고 오른 편에는 반비례나 두 변수를 쓰는 것을 공부하겠습니다 두 변수로의 아주 간단한 정의로 나타내자면 이렇게 됩니다 y = kx 꼴이면 y는 x에 정비례하는 꼴입니다 이것을 말로 다시 쓰면 y는 x에 정비례한다 고 할 수 있습니다 상수가 낯설게 느껴진다면 다른 아무 수나 다 쓸 수 있단 걸 기억하세요 예를 몇개 들어보겠습니다 첫번째 예로는 y = x 입니다 k 상수를 1로 두면 1은 굳이 안 써도 됩니다 그래서 y = 1*x 면 k는 1입니다 y = 2x 도 되고 y = 1/2x 도 되고 y = -2x 로도 쓸 수 있습니다 이 모두가 다 정비례입니다 y = - 1/2 x 도 되고 y = π x 도 되고 y = - π x 도 됩니다 이제 감이 오시나요? 모든 상수 곱하기 x 면 정비례합니다 좀 더 세밀하게 접근해보도록 하겠습니다 어떤 일이 일어나는지 보죠 예를 들어보겠습니다 양수와 음수로 각각 예시를 들어보겠습니다 이해하기 쉽지 않을 수도 있습니다 y = 2x를 보고 왜 이 식이 정비례하는지 볼 거예요 X 값 몇 개를 생각해 봅시다 이에 따른 Y 값도 살펴보겠습니다 X가 1이면, Y는 두 배인 2입니다 만약 X가 2면, Y는 2배인 4가 되는 겁니다 X를 두 배로 했을 때 1에서 2로 했을 때, Y도 2배가 됐습니다 Y도 2배가 됐다는 것은 정비례한다는 것입니다 X를 어떤 수로 곱하면 Y도 동일하게 적용됩니다 X를 어떤 수로 나누면 Y도 동일하게 나누는 겁니다 보는 바와 같이 진행됩니다 Y가 마이너스 2X라고 했을 때 다른 예를 들겠습니다 Y는 마이너스 3X라고 하죠 다시 한 번 Y와 X를 따져보면 X가 1일 때 Y는 -3 x 1 그러니까 -3이 됩니다 X가 2일 때 -3 x 2 = -6이 됩니다 X를 2로 곱하면 Y도 동일하게 2로 곱합니다 - 3에서 - 6까지 가려면 동일하게 2로 곱하는 겁니다 동일한 곱하는 수를 적용했고 또 다른 예를 들자면 X가 1/3이라고 했을 때 Y는 -3 x 1/3이니까 -1입니다 그러니까 1의 1/3인 3으로 나눕니다 -3에서 -1의 경우에도 3으로 나누게 됩니다 X에 어떤 수를 곱하거나 나누면 Y에도 동일합니다 이것이 동일하게 적용됩니다 그러나 항상 간단하지만은 않습니다 어떤 경우엔 헷갈립니다 여기 예를 보면 Y는 -3X이고 오른쪽 부분은 반비례 설명을 위해 쓰지 않겠습니다 이렇게 쓸 수 있고 대수적으로 변형할 수 있습니다 등식의 양쪽 모두 X로 나눌 수 있습니다 그런다면 Y/X가 -3이 됩니다 아니면 양쪽 모두를 X로 나눕니다 그리고는 양쪽을 Y로 나눕니다 양쪽 모두를 Y로 나눈다면 1/X가 - 3 x 1/Y입니다 여기 있는 3가지 방정식은 모두 같습니다 그러므로 정비례는 바로 이해되진 않습니다 그렇지만 방금 한 방식대로 한다면 동일한 결과를 얻을 것입니다 아니면 원래의 식을 사용할 수도 있고요 또 다른 방법도 존재합니다 등식 양쪽 모두를 -3으로 나눌 수 있습니다 즉, -1/3Y가 X라면 여기서 좀 흥미로운데요 즉, 여기서 X가 Y와 정비례합니다 아니면 X가 K x Y라고 할 수 있습니다 일반적으로 그게 사실입니다 X와 Y가 정비례한다면 Y도 X와 정비례한다고 할 수 있습니다 상수가 다를 순 있지만 여전히 정비례입니다 정비례를 배워봤으니 반비례도 배워봅시다 반비례의 기본 형식은 변수는 항상 X와 Y 일 필요는 없고 A와 B 또는 M과 N이 될 수도 있습니다 M 과 N이 정비례한다고 하면 M은 kN이라고 할 수 있습니다 이제 반비례를 봅시다 y와 x를 사용한다면 Y는 (K) x 1/X 일 수 있어요 전의 경우처럼 X가 아니라 1/X 일 수도 있습니다 예를 들어 봅시다 Y가 1/X라고 할 수 있고 Y가 2 x 1/X가 될 수도 있습니다 즉, 이는 2/X와 같은 거죠 Y가 1/3 x 1/X라고 하는 것은 1/3X와 같습니다 Y가 -2/X이라고 합시다 정비례를 설명할 때 사용한 것을 반비례에도 적용해봅시다 Y가 2/X와 같다고 해봐요 그리고 여기서 동일하게 대입해 봐요 만약 X가 1이면, Y는 2입니다 만약 X가 2이면 2 나누기 2인 1이 됩니다 즉, X를 2로 곱하면 2로 곱하면 Y는 어떻게 해야 하죠? Y는 2로 나뉩니다 차이를 아시겠어요? 여기서는 X에 무엇을 곱하건 Y도 동일하게 곱해줬습니다 이제 X를 어떤 수로 곱하면 반비례에서는 동일한 수로 Y를 나누게 돼요 반비례는 이런 거예요 반대로 해보면요 X가 1/2이라고 해 봅시다 X를 나누게 되면, Y는 곱하게 됩니다 왜냐하면 2를 1/2로 나누면 4가 됩니다 즉, 여기서는 Y를 곱하는 거죠 반대로 하는 거예요 반비례. 정비례를 이렇게 생각하면 돼요 음수로도 생각해 볼 수 있습니다 즉, 2로 곱한다면 다시 말하지만, 하나의 형태만 있는 것은 아닙니다 다양한 방법으로 재배열이 가능해요 대수적으로 동일하다면 반비례는 계속 성립합니다 등식 양쪽 모두에 X를 곱하면 XY = 2가 되고, 이 역시 반비례입니다 또 이 식의 양쪽을 Y로 나누어보면 X = 2/Y가 됩니다 이는 곧 2 x 1/Y와 같아요 보다시피 Y는 X와 반비례합니다 이를 대수적으로 적용하여 X가 Y와 반비례하는 걸 알 수 있습니다 따라서 Y는 X와 반비례합니다 이것은 또, 밑에서 본 것과 같이 X가 Y와 반비례한다고 할 수도 있습니다 다른 방법도 있습니다 등식의 양쪽 모두를 2로 나눌 수 있습니다 그럼 Y/2가 1/X와 같다는 것을 알 수 있습니다 어쨌든 두 변수의 비례를 말하는 문제를 접하면 정비례, 반비례 또는 2가지 모두 아닌지 확인하려면 이러한 테이블을 만들어 볼 수 있습니다 X를 어떤 수로 곱하고 Y도 동일하게 곱해지면 정비례라고 볼 수 있습니다 X를 곱했는데 Y가 나눠진다면, Y에는 반대되게 적용된다면 이것은 바로 반비례입니다 반비례인지 정비례인지 정확히 하기 위해서는 대수적인 방법을 사용해 식의 기본 형태로 나타내보면 됩니다 그렇게 하면 반비례인지 아니면 정비례인지 알 수 있습니다