지수함수의 증가 그래프

다음 중 주어진 함수를 나타내는 그래프를 찾아봅시다 주어진 함수 f(x)는 2 곱하기 3의 x제곱이며 주어진 보기는 세 개입니다 동영상을 잠시 멈추고 함수 f(x)를 나타내는 그래프를 골라 보세요 이제 같이 풀어 볼까요? 주어진 함수는 지수함수입니다 어떤 수에 다른 수의 거듭제곱을 곱한 꼴은 지수함수를 나타냅니다 여기서 두 가지 정보를 알 수 있어요 x가 0일 때의 값은 무엇일까요? 함수의 x에 0을 대입해보면 2 곱하기 3의 0제곱이고 3의 0제곱은 1이므로 함수의 값은 2가 되죠 그러므로 x가 0일 때 y가 2인 y = f(x)의 그래프를 찾으면 되겠죠 다른 방법으로 생각해 볼 수도 있어요 지수함수에서 이 값은 초깃값이라고도 합니다 x축을 시간축, 즉 t축이라고 생각할 수도 있기 때문에 t축은 시간축이 이 값을 초깃값이라고 부르기도 하는 거예요 이런 형태의 함수에서는 y절편이 이 값에 의해 결정됩니다 f(0)일 때 3의 0제곱은 1이되어 2만 남게 되죠 다음 중 y절편이 2인 그래프는 무엇일까요? 첫 번째 그래프의 y절편은 1이고 두 번째 그래프의 y절편은 3인 것 같네요 세 번째 그래프의 y절편이 2입니다 주어진 조건을 이용해 오답을 지워주면 세 번째 그래프가 정답이라는 것을 알 수 있죠 하지만 좀 더 확실하게 답을 구해 봅시다 어떤 지수함수에도 적용할 수 있는 방법이 있습니다 함수의 식에서 알 수 있는 것은 3이 공비를 나타낸다는 것입니다 x가 1씩 증가하기 때문에 3의 거듭제곱은 1씩 증가하며 또는 3을 계속 곱해준다고 볼 수 있습니다 예를 들어, f(1)은 2와 3의 곱이 되겠죠 2 · 3 = 6입니다 f(0)에서 f(1)로 갔을 때 값이 3배 되었습니다 계속 3을 곱해주면 됩니다 f(2)는 3을 한 번 더 곱해주겠죠 2 곱하기 3의 제곱이므로 계산하면 18이 됩니다 x가 1만큼 증가했더니 함수의 값이 3배가 되었습니다 이제 그래프를 살펴봅시다 첫 번째 그래프는 y절편이 틀리죠? 하지만 x가 0일 때와 1일 때의 값을 보면 x가 0일 때는 1이 되고 x가 1일 때는 3이 됩니다 그리고 x가 1일 때는 3이었는데 x가 2가 되자 함수의 값이 9가 되었어요 이를 보면 공비가 3이라는 것을 알 수 있겠죠 이 그래프는 찾으려는 함수와 y절편만 다를 뿐입니다 이 그래프가 나타내는 함수 f(x)는 1 곱하기 3의 x제곱입니다 두 번째 그래프는 x가 0일 때 3이며 x가 1만큼 증가할 때마다 함수의 값이 두 배가 됩니다 이 그래프가 나타내는 함수의 식을 써 볼게요 초깃값 즉, y절편은 3입니다 x가 1만큼 증가할 때마다 함수의 값이 두 배가 되므로 함수의 식은 3 곱하기 2의 x제곱이 됩니다 첫 번째 그래프의 식은 1 곱하기 3의 x제곱입니다 값이 항상 세 배가 되죠 이는 3의 x제곱이라고 쓸 수 있어요 이제 세 번째 그래프를 봅시다 아까 이미 답을 구했으므로 쉽게 구할 수 있겠네요 x가 1만큼 증가하면 3을 곱해야 합니다 2 · 3 = 6이죠 1만큼 또 증가하면 6 · 3 = 18이 됩니다 이 값이 그래프에는 나타나있지 않지만 3씩 곱했을 때 성립합니다 다른 방법으로 생각해 볼 수도 있어요 1만큼 줄어든다면 3으로 나눠주어야 합니다 2를 3으로 나누면 2/3이므로 이 부분이 2/3가 되겠죠 따라서 정답은 세 번째 그래프입니다