지수함수란?

이번 강의에서는 지수 함수에 대해 소개하고 지수 함수가 얼마나 빨리 증가할 수 있는지를 보여드리겠습니다 지수 함수의 한 예를 여기 써보겠습니다 y=3^x 이 있습니다 x^3이 아니고 3^x이라는 것을 명심하세요 x^3이 아니고 3^x이라는 것을 명심하세요 변수 x가 지수입니다 이게 얼마나 빨리 증가하는지 보기 위해 표를 만들고 그래프를 그려봅시다 x의 값 몇개를 넣어봅시다 x=-4 일 때부터 시작해보죠 그리고 -3, -2, 0, 1, 2, 3, 4 일 때도 하겠습니다 각 x 값에 대한 y의 값을 알아봅시다 각 x 값에 대한 y의 값을 알아봅시다 여기선 y가 3^-4이 되어 1/3^4이 됩니다 3의 세제곱은 27이고 3을 한번 더 곱하면 81입니다 따라서 1/81이 됩니다 x=-3 일 때.. 다른 색으로 하겠습니다 이 색은 읽기 불편하군요 y는 3^-3 입니다 그럼 1/3^3이고 이는 1/27 입니다 아주 작은 수부터 덜 작은 수로 하겠습니다 3^-2은 1/9입니다 맞죠? 3^-2은 1/9입니다 맞죠? 1/3^2이고 3^0=1 입니다 1/3^2이고 3^0=1 입니다 수가 조금씩 커지고 있습니다 하지만 곧 금방 갑자기 커질것 같습니다 3^1 입니다 그리고 그건 3 입니다 3^2 입니다 맞죠? y=3^2 입니다 3^2 입니다 맞죠? y=3^2 입니다 그리고 그건 9 입니다 3^3은 27 이고 3^4은 81 입니다 3^5을 구하면 243 입니다 그래프를 그려서 얼마나 빨리 증가하는지 봅시다 축을 여기 그리겠습니다 x축과 y축 입니다 그래프를 그리기 위해 눈금을 5 단위로 그리겠습니다 최대한 직선으로 그리겠습니다 이게 5, 10, 15라고 합시다 81을 그려야되는데 그래프 밖에 그리고 싶진 않군요 됬습니다 약간 다르게 그리겠습니다 약간 다르게 그리겠습니다 이 값들이 모두 양수이기 때문에 여기에 그리겠습니다 밑이 양수라 이 값들도 양수입니다 밑이 양수라 이 값들도 양수입니다 이렇게 다시 그려보겠습니다 충분하네요 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80이 있다고 합시다 80은 여기 입니다 여긴 10 여긴 30 입니다 어림하는데 좋겠네요 여기는 -5라고 하고 여기는 5라고 합시다 아니, 좀 더 늘려서 그리겠습니다 여기가 -1, -2, -3, -4라고 합시다 여기가 -1, -2, -3, -4라고 합시다 1, 2, 3, 4도 있습니다 x=0 일 때 y=1 입니다 맞죠? x=0 일 때 y=1 입니다 이쯤에 있겠군요 x=1 일 때 y=3이고 이쯤에 있습니다 x=2 일 때 y=9 이고 이쯤에 있습니다 x=3 일 때 y=27 이고 이쯤에 있습니다 x=4 일 때 y=81 입니다 그래프가 매우 빠르게 증가하는 것을 볼 수 있습니다 x=5 일 때 y=243이고 심지어 화면 안에 들어오지도 않습니다 x= -1 으로 가면 더 작은 값을 갖습니다 -1 에선 1/9 입니다 결국은 보이지도 않게 됩니다 0에 점점 가까워집니다 더 작은 음수가 될수록 더 작은 음수가 될수록 그니까 3의 마이너스 천, 백만 제곱이 되면 값은 0이 되지는 않으면서 0에 점점 더 가까워집니다 따라서 x가 마이너스 무한대일 때부터 x가 커지면 0에 매우 가까운 상태에서 점점 0에서 멀어지다가 갑자기 커집니다 x가 양수가 되면 갑자기 커집니다 갑자기 커지는데 빠른 속도로 커집니다 이것을 통해 지수 함수가 정말 급격하다는 것을 볼 수 있었습니다 물론 더 빠르게 증가하는 지수 함수도 만들 수 있습니다 예를 들면, x^x이 있는데 이건 매우 매우 빠르게 증가합니다 가장 빠르게 증가하는 것 중 하나이죠 지수 함수에 대해 더 감탄하기 위해 다른 문제를 풀어봅시다 어떤 사람이 행운의 편지를 주 1에 보냈다고 합시다 주 1에는 어떤 사람이 행운의 편지를 10명에게 보냈습니다 행운의 편지는 다른 10명에게 이 편지를 보내라고 합니다 만약 안그러면 불운이 닥치거나 머리가 빠질것 이라고 합니다 아니면 개구리랑 결혼한다던가 다른 안좋은 일들이 일어난다고 합니다 그래서 모든 사람들은 편지를 다음주에 10명에게 보내기로 합니다 주 2에서는 그들이 다른 10명에게 편지를 보냅니다 처음 편지를 받은 10명이 각각 10명에게 편지를 더 보냅니다 이제 100명이 편지를 받았습니다 10명은 각각 10명씩 편지를 보냈습니다 보낸 수 10개씩 보냈습니다 따라서 100개가 보내졌습니다 주 3에서는 무슨 일이 일어날까요? 편지를 받은 100명은 또 각각 10명에게 편지를 보냅니다 10명에게 편지를 보냅니다 이제 1000명이 편지를 받게 됩니다 이런식으로 편지를 받은 사람은 주 n에 몇 명 일까요? 주 n에 몇 명 일까요? 주 n에서 10^n명이 편지를 받습니다 주 n에서 10^n명이 편지를 받습니다 그러다면 주 6에서는 몇 명이 편지를 받을까요? 주 6 몇 명이 편지를 받을까요? 10^6이 무엇인가요? 10^6=1000000 입니다 주 6에 백만명이 편지를 받습니다 처음 10명에게 보냈는데 말이죠 근데 실제로는 대부분의 사람들은 편지를 아예 버리거나 이렇게 많이 보내지는 않습니다 근데 실제가 아니라 편지를 받은 10영이 또 10명씩 편지를 더 보낸다면 주 6에는 백만명이 편지를 받습니다 주 9에는 십억명이 편지를 받습니다 그 다음주에는 사람이 모자를 것입니다 다음 비디오에서 봅시다