함수, 도함수, 이계도함수의 그래프를 통한 변곡점 구하기

이번 영상에서 해볼 것은 변곡점의 특징을 그래프를 통해 배우는 것입니다 지난 영상들에서도 배웠죠 첫 번째로 명심할 것은 그래프에서의 변곡점은 기울기가 감소에서 증가로 변하는 점 혹은 증가에서 감소로 변하는 점입니다 여기엔 어떤 함수의 그래프가 있고 여러 점에서 접선의 기울기를 그려 봅시다 x = -2일 경우 접선은 다음과 같이 생겼습니다 기울기는 다음과 같죠 x를 증가할수록 기울기가 양수지만 값이 감소하죠 그 다음 0이 되고 음수로 바뀝니다 그리고 기울기가 감소합니다 x = -1에 도달할 때까지 말이죠 x = -1에 도달할 때까지 말이죠 그 다음 기울기가 다시 증가합니다 따라서 x = -1에서 흥미로운 일이 일어납니다 따라서 이는 꽤 중요한 점입니다 그래프를 이용해서 설명을 했지 증명을 하진 않았습니다 따라서 여기 이 점에선 변곡점을 가집니다 이를 적어 봅시다 이를 다시 보여주겠습니다 이 점을 표시했습니다 x = -2일 경우 접선의 기울기가 양입니다 계속 감소합니다 여기선 음수입니다. x = -1까지 계속 감소합니다 그리고 다시 증가합니다 따라서 이는 함수만 보고 낼 수 있는 정의입니다 하지만 일계도함수를 통해 변곡점을 구할 수 있습니다 변곡점은 기울기가 증가에서 감소로 가는 점입니다 혹은 감소에서 증가로 갑니다 도함수는 접선의 기울기에 해당합니다 따라서 이는 파란색으로 표시한 함수의 도함수의 값입니다 여기서 흥미로운 것이 보이죠 어떤 일이 일어나는지 보세요 도함수에서 도함수가 감소합니다 이는 원래 함수의 접선의 기울기가 감소한다는 뜻이고 이를 증명했죠 여기서 도함수가 감소할 때 기울기가 감소합니다 기울기는 양수입니다 기울기는 양수지만 기울기가 감소합니다 그 다음 음수가 되고 기울기가 감소합니다 이 점까지 말이죠 이는 x = -1일 경우입니다 다시 봅시다 기울기가 양수이고 감소합니다 여기에선 기울기가 계속 감소합니다 그리고 음수로 변하죠 x = -1일 때까지 기울기가 계속 감소합니다 그리고 기울기가 다시 증가합니다 도함수가 다시 증가합니다 이는 원래 함수의 접선의 기울기가 증가하기 시작한다는 뜻입니다 이 점은 흥미롭네요 변곡점을 일계도함수에서 찾는 방법 중 하나는 극솟값을 찾는 것입니다 혹은 극댓값을 찾습니다 왜냐하면 이 점들은 도함수의 방향이 바뀌는 점을 의미하죠 증가에서 감소로 가거나 감소에서 증가로 바뀝니다 이는 변곡점이라는 것을 의미하죠 이계도함수를 봅시다 여기 있습니다 이는 도함수의 도함수입니다 확대를 해서 자세히 봅시다 여기선 전체 함수를 볼 수 없네요 조금 축소를 해서 무슨 일이 일어나는지 보여드리죠 어떤 점이 흥미롭나요? x = -1일 경우 이계도함수가 x 축을 지납니다 이를 표시합시다 여기선 x 축을 지납니다 이는 변곡점을 의미합니다 말이 되는군요 이계도함수가 음수에서 양수로 가는 경우 일계도함수가 감소에서 증가로 변합니다 이는 함수의 접선의 기울기가 감소에서 증가로 간다는 의미입니다 이를 많이 보았죠 감소에서 증가로 갑니다 이계도함수는 x 축에 닿기만 해선 의미가 없습니다 가로질러야 합니다 따라서 여기 (2,0)는 어떤가요? 라고 물을 수도 있습니다 이계도함수가 x축에 닿는 경우죠 하지만 가로지르진 않습니다 따라서 도함수가 증가에서 감소로 가지 않습니다 따라서 배운 것은 함수의 그래프나 도함수의 그래프에서 변곡점을 찾을 수 있고 또한 이계도함수의 그래프에서도 찾을 수 있습니다 함수 자체에서는 접선의 기울기를 구하고 싶습니다 그리고 감소에서 증가로 갈 경우 어떻게 되는지 생각해보세요 혹은 증가에서 감소로 갈 경우에요 일계도함수를 보면 극댓값이나 극솟값을 확인하고 싶을 것입니다 이계도함수를 본다면 주황색으로 표현되어있죠 어떤 x 값에서 x축을 가로지르나요? 닿기만 해선 안되고 가로질러야합니다