이계도함수를 사용해서 최댓값 정당화하기

h'(-4) = 0이 주어졌을 때 x = -4일 경우 h가 극댓값을 가진다는 미적분학적 증명이 무엇인가요? 여기를 보면 함수의 h의 그래프가 있습니다 다음 그래프는 y = h(x)의 그래프입니다 그리고 일계도함수의 그래프는 그리지 않았지만 여기에 오랜지색으로 h''(x) 이계도함수의 그래프를 그렸습니다 여기서 묻는 것은 h'(-4) = 0이 주어졌을 경우 일계도함수가 4일 때의 값이 0이라고 주어진 것이죠 그리고 x = -4일 경우 접선의 기울기가 0이라는 뜻입니다 따라서 이 보기 중 미적분학적 증명 여기에 밑줄을 칩니다 x = -4일 경우 최솟값을 가진다는 미적분학적 증명이 무엇인가요? 첫 번째 보기는 이계도함수가 x = -4일 경우 음수라고 합니다 이 보기는 무엇을 말해주나요? 이계도함수가 음수라면 일계도함수가 감소하고 이는 적어도 x = -4인 상황이라는 것을 증명하죠 이 경우 오목성이 아래로 향합니다 아래로 향하는 것은 다음과 같은 그래프의 모습을 띕니다 x = -4에서요 그리고 x = -4일 경우 기울기가 0이라면 이 경우는 극솟값을 가지게 됩니다 이계도함수가 여기서 양수라면 오목성이 위로 향합니다 도함수의 값이 0이라면 이는 극솟값을 가집니다 하지만 이는 참입니다 이계도함수는 x = -4일 경우 음수입니다 이는 아래로 오목하다는 것이고 U모양을 띈다는 것이죠 도함수가 0인 경우 이는 극댓값을 가집니다 따라서 이는 정답입니다 문제를 풀었지만 다른 보기를 봅시다 x = -4이기 전에 h는 증가합니다 이는 참입니다 x = -4이기 전에 함수는 증가합니다 그리고 이 점을 지나면 감소합니다 이는 참이며 이와같은 정보는 극댓값을 가진다는 것을 알려줍니다 x = -4일 경우 함수가 연속한다면 말이죠 이는 참입니다 이는 극댓값을 가지는 정의이지만 미적분학적 증명이 아닙니다 이 보기는 지울 수 있겠네요 x = -4일 경우 이계도함수가 극솟값을 가집니다 이 보기도 참입니다 여기에 극솟값을 가지겠죠 하지만 이는 h'(-4)가 하지만 이는 h'(-4)가 혹은 왜 x = -4에서 극솟값을 가지는지 증명하지 않습니다 예를 들어 이계도함수에서 극솟값을 가질 수 있지만 이계도함수가 양수일 것입니다 이계도함수가 이렇다면 어떨까요? 이는 그래도 극솟값을 가집니다 하지만 이 점에서 양수라면 오목성의 위를 향하며 이는 x = -4일 경우 원래의 함수가 극댓값을 가지지 않는다는 것을 의미합니다 극솟값을 가지죠 따라서 극솟값이라는 정의는 충분하지 않습니다 극댓값을 다룬다고 하기 위해선 이계도함수가 이 점에서 음수여야 합니다 이 네 번째 보기는 h''의 오목성이 위를 향한다고 합니다 이는 이계도함수의 오목성이 위를 향한다고 하네요 하지만 이 증명은 원래 함수의 오목성이 위를 향한다는 것을 증명하지 않습니다 예를 들어 이 보기를 사용할 수 있습니다 이는 오목성이 위를 향하는 이계도함수입니다 하지만 항상 양수이죠 그리고 이계도함수가 항상 양수라면 일계도함수가 항상 증가하는 것이며 이는 원래 함수의 오목성이 항상 위를 향합니다 오목성이 항상 위를 향한다면 x = -4일 경우 극댓값을 가지지 않습니다 이 보기도 지웁시다