테일러와 매크로린 다항식이란?(2)

이전 영상에서 무작위 함수를 어떻게 어림하는지 배웠습니다 하지만 함수가 미분이 두 번 그리고 세 번 그리고 계속 가능해야 합니다 다항식을 사용하여 x = 0일 경우 어떻게 함수를 구하나요? 0차수 다항식이 있다면 이는 그저 상수항이죠 이 점을 지나는 수평선을 사용하여 어림할 수 있습니다 좋은 어림값은 아니죠 일차 다항식을 구한다면 이 점에서 기울기를 구할 수 있습니다 이차 다항식을 구한다면 함수를 조금 더 둘러싸는 다항식을 구할 수 있습니다 삼차 다항식을 구한다면 함수를 더 많이 감싸는 다항식을 구할 수 있습니다 이 모든 것은 함수가 x=0일 경우 값을 구하는 것입니다 이게 x=0일 경우 매클로린 급수 혹은 테일러 급수라고 부르는 이유입니다 여기서 하고 싶은 것은 더 확장하여 일반적으로 만들고 x가 어떤 값일 경우의 테일러전개식에 대해 알아보겠습니다 이 함수를 구하고 싶다고 합시다 x가 이게 x축이죠 x = c일 경우에 말이죠 같은 것을 해봅시다 첫 번째 어림값은 c일 경우 다항식은 더 나은 설명을 드리자면 우리 다항식이 상수항이라면 함수가 c일때 가지는 값과 동일해야 합니다 따라서 f(c)와 같아야 합니다 f(c)는 상수항입니다 이는 여기 이 값입니다 c가 주어졌다고 가정을 합니다 그리고 이는 f(c)를 지나는 수평선입니다 p(x)는 f(c)와 같은 경우죠 정확한 어림은 아니지만 이 조건이 맞으며 도함수의 값이 맞도록 할 수 있습니다 주어진 조건은 다시 설명을 드리자면 이는 p(c)가 c에서의 어림값이 c에서의 다항식이 f(c)와 같아야 한다고 했습니다 c를 여기에 넣어도 오른쪽의 값이 변하지 않습니다 이는 상수항이기 때문이죠 다음 조건으로 넘어가봅시다 이 조건이 참이며 다항식의 도함수가 함수의 도함수와 둘 중 하나가 c에 있을 경우 같다는 것입니다 따라서 이 경우에 다항식을 정하면 저번 영상에서 본 것과 동일한 것을 보게 됩니다 0에 있지 않기 때문에 조금 움직입니다 따라서 이제 p(x)가 f(c) 더하기 f'(c)와 같게 합니다 따라서 이 점에서의 기울기가 얼마든 간에 기울기 곱하기 여기서 조금 다른 것을 보게됩니다 x-c입니다 여기 -c가 왜 있는지 알아봅시다 일단 이전 조건이 아직 성립되는지 봅시다 이 값이 c일 경우를 봅시다 따라서 지금 p(c)는 여기 이 예제를 사용하는 것입니다 새로운 색을 사용합시다 해봅시다 따라서 p 새로운 색이 아니네요 p(c)는 f(c) + f'(c) 곱하기 c - c입니다 x를 볼때 마다 c를 대입합니다 c - c 이 항은 0과 같습니다 여기 이 전체 항은 0과 같습니다 따라서 p(c) = f(c)만 남습니다 조건만 남게 되죠 여기 이 두 번째 항을 지울 수 있는 이유는 f'(c) 곱하기 x-c가 있었기 때문입니다 x-c는 이 앞의 값들이 의미없게 합니다 이 조건이 사실인지 확인합시다 p'(x)는 이 값의 도함수이며 이는 0입니다 왜냐하면 이는 상수 더하기 이 값의 도함수이기 때문입니다 그리고 그 값은 무엇인가요? 이 값은 이 식을 전개하고 f'(c) 곱하기 x 빼기 f'(c) 곱하기 c는 상수항입니다 여기 이 값의 도함수를 구하면 f'(c)만 남게됩니다 따라서 다항식의 도함수는 상수항입니다 물론 c일 경우 이 값인 p'(c)를 구한다면 이는 f'(c)와 같습니다 따라서 이는 두 번째 조건을 만족합니다 이 두개의 항이 모두 있다면 어림값은 다음과 같습니다 f'(x)와 같은 기울기를 가집니다 어림값이 더 나아졌네요 이를 계속 반복하면 같은 방식으로 구한다면 0에 대해서 매클로렌 전개식에서 일반적인 테일러 전개식을 사용하면 c에서 f(x)의 근사값은 다항식입니다 따라서 다항식 p(x)는 전개를 해보겠습니다 이는 전에 보았던 것과 같습니다 f(c) + f'(c) 곱하기 (x-c)입니다 다음 항들이 어떤 값일지 예측할 수 있습니다 같은 방법을 사용하면 됩니다 매클로린 급수 영상에서는 더 많은 항을 더했습니다 이계도함수와 삼계도함수를 사용하면 더 복잡해지며 그리고 나머지는 이상식을 전개해야 하지만 같은 원리입니다 다음은 더하기 이차항이며 f'(c)/2!입니다 이는 매클로린 전개에서 보았던 것과 같습니다 확실히 말하면 여기에 1!이 있죠 적지는 않았습니다 값에 영향이 없기 때문이죠 이 값 곱하기 (x-c)^2 더하기 함수의 삼계도함수가 c일 경우의 값 나누기 3! 곱하기 (x-c)^3입니다 이제 방법을 알았겠죠 이렇게 더 많은 항들을 더할 수 있습니다 하지만 조금씩 더 어려워집니다 더 풀려고 하면 말이죠 그렇게 어렵진 않습니다 여기에 x 대신에 그리고 x^2 대신에 (x-c)^2 대신에 (x-c)^3 대신에 이들이 식을 더 복잡하게 만듭니다 하지만 이들은 항을 더 더할수록 값을 더 정확히 만듭니다 무작위 값에 대해서 말이죠 이는 x = 0일 경우와 반대입니다 이를 WolframAlpha를 사용해 다음 시간에 보여드리겠습니다