예제: 테일러 다항식의 계수

f(x)가 주어졌고 f의 x = -2에 중심에서 테일러 다항식의 (x+2)^4의 계수를 구하면 무엇인가요? 언제나 그랬듯이 영상을 멈추고 혼자서 풀어보세요 이제 해봅시다 주로 테일러 다항식 p(x)는 형식이 있고 x = -2를 중심으로 하기 때문에 따라서 중심에서의 함수의 값을 구할 것입니다 이를 0!로 나눕니다 이는 1입니다 전부 다 적어서 패턴이 보이게 하겠습니다 그리고 곱하기 x 빼기 중심 하지만 -2를 빼면 +2가 됩니다 그리고 0승입니다 다시 말하지만 이는 1입니다 많은 사람들이 이렇게 적지 않을 것입니다 하지만 이를 적어서 패턴이 보이게 하는 것입니다 따라서 이 항 더하기 일계도함수의 -2일 경우의 값 나누기 1! 즉 1 곱하기 (x+2)^1 더하기 -2에서의 이계도함수 값 나누기 2! 곱하기 (x+2)^2 패턴이 보이시죠 저희가 구해야 하는 것은 사차항입니다 삼차항을 한번 적어봅시다 설명을 위해서요 -3에서의 삼계도함수의 값 나누기 3! 곱하기 (x+3)^3 이제 저희가 구해야 하는 부분이죠 더하기 사계도함수입니다 4를 적을 수 있지만 무슨 말인지 알겠죠? -2일 때의 값 나누기 4! 곱하기 x+2 (x+2)^4입니다 따라서 계수가 무엇인가요? 계수를 구해야 하죠 원래 함수의 사차도함수를 구해야 합니다 원래 함수의 사차도함수를 구해서 -2일 경우의 값을 구하고 4!로 나눕니다 이 함수 일계도함수 f'(x)는 멱의 법칙을 사용하여 6x^5 - 3x^2이고 이계도함수는 5x6 = 30 30x^4 2x3 - 6x^1입니다 삼계도함수는 삼계도함수의 x는 4x30 = 120 120x^3 빼기 6 그리고 사계도함수는 저희가 구해야 하는 것이죠 이는 3x120 360x^2 그리고 상수항의 도함수는 0입니다 그리고 x = -2일 경우의 값은 f''''(x)의 x = -2일 경우의 값은 360 곱하기 -2^2 = 4 360 곱하기 4를 적어두겠습니다 이 값을 구할 수 있지만 그리고 이를 4!로 나눕니다 따라서 계수는 360x4 이게 분자고 나누기 4!입니다 나누기 4x3x2x1 4 나누기 4는 1입니다 360 나누기 3은 360 나누기 6은 60입니다 이게 계수입니다 60이고 분모는 1입니다 따라서 60입니다 이게 계수입니다