조화급수와 𝑝급수

몇백 년 동안 수학자들은 무한한 수의 합인 급수에 대해 관심을 가졌습니다 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 이렇게 계속 더하는 것이죠 그리고 이는 흥미롭습니다 이에 대해 연구를 해보고 싶죠 1/1 + 1/2 + 1/3 각 항은 점점 작아집니다 0에 가까워지죠 하지만 전부 더하면 무한한 항들의 합은 유한합니다 혹은 발산해서 유한한 값이 아닌가요? 이는 음악에서도 보이는 현상이죠 그리고 이게 급수를 연구하게 된 이유중 하나입니다 밑음이 있다면 음악에서는 기본파가 있죠 하지만 이 영상의 목적은 음악을 가르치는 것이 아니지만 밑음이 있다면 밑음이 a라면 파장 하나를 보여드리는 것입니다 이렇게 계속 이어지겠죠 이는 손으로 그려서 완벽하진 않습니다 고조파는 우리가 듣기에 a임을 강조하는 주파수 혹은 오버톤이죠 그리고 고조파는 a의 절반인 파장을 갖습니다 이 경우 다음과 같이 생겼겠죠 따라서 이는 a의 고조파입니다 a의 절반인 파장을 갖고 두 번째 파형이 끝날 때 a의 파장이 끝나는 동일한 시간에 끝나죠 그리고 a의 1/3인 파장을 갖는 또 다른 고조파를 가지고 1/4 파장을 갖는 것이 생깁니다 그리고 듣기 좋은 악기를 살펴 본다면 밑음만 연주하는 것이 아니라 다양한 고조파를 연주합니다 이는 조화급수를 설명하기 위한 긴 설명이었네요 조화급수 말이죠 다음 영상에서 이름과 일치하지 않게 이 급수가 확산한다는 것을 증명하겠습니다 그리고 이러한 급수가 수렴하는지 혹은 확산하는지에 대한 공식을 알려드리겠습니다 하지만 조화급수는 특히 확산합니다 이를 시그마 형태로 적는다면 이렇게 적겠죠 n = 1부터 무한대까지 1/n을 더합니다 또 흥미로운 점은 지수를 추가하면 어떻게 되나요? 식을 다시 적을게요 계속 적으면서 익숙해지는 거죠 여기 이는 조화급수입니다 1/1은 1이고 더하기 1/2 + 1/3 이렇게 계속됩니다 이 수들의 분모에 제곱을 한다면 어떨까요? 따라서 다음과 같은 식을 가집니다 n = 1부터 무한대까지 있으며 1/n^2이 있죠 이렇게 말이죠 1/1^2은 1이죠 따라서 첫 번째 항은 1입니다 더하기 1/2^2은 1/4이 됩니다 더하기 1/3^2은 1/9죠 이렇게 계속 반복됩니다 영원히요 그리고 식을 정리합니다 식을 정리하면 이와 같은 급수를 정리할 수 있는 종류의 급수를 정의합니다 n = 1부터 무한대까지 1/n^p를 계산합니다 p는 어떤 지수라도 될 수 있습니다 예를 들어 이 식이 1/2^p 더하기 1/3^p 1/4^p라고 하고 이는 정수가 아니어도 됩니다 p는 1/2이 될 수도 있습니다 이 경우 1 더하기 1/√2 더하기 1/√3이죠 이 모든 급수들은 물론 조화급수는 p = 1인 특별한 경우이며 멱급수라고 합니다 따라서 이는 멱급수라고 하고 이를 기억하는 법은 멱은 분모에 있는 지수를 나타낸다는 것입니다 이는 항의 전체에 제곱을 한다고 볼 수도 있는데 1의 어떤 수 제곱은 1이기 때문입니다 약간의 힌트를 드리면 이들은 수렴하고 발산도 합니다 다음 영상에서 증명을 하겠지만 기본 공식은 p가 1보다 작다면 수렴한다는 것이죠 이는 말이 되는게 항들의 크기가 점점 작아지며 이는 분모의 지수가 빠르게 커질 수록 분모의 크기가 빠르게 커진다는 뜻이고 분수의 값이 빠르게 작아진다는 것이며 p 가 1보다 작거나 같다면 그리고 p = 1이라면 조화급수를 다룹니다 이 경우는 발산은 하며 다음 영상에서 증명하겠습니다