극곡선의 호의 길이

이번 시간에는 극좌표에서 곡선의 아크의 길이를 구하는 공식을 구해보겠습니다 여기에 있는 곡선은 r = f(θ)이며 두 θ사이의 곡선의 길이를 θ 사이는 예를 들어 이 경우에는 θ(0) 과 π/2 사이지만 r(θ)의 극값 사이인 값입니다 그리고 만약 문제를 풀 방법이 생각이 난다면 영상을 멈추고 극형식을 가지는 문제를 풀 경우 아크 길이의 공식을 구할 수 있는지 봅시다 하지만 이 문제를 해결하는 방법은 아크의 길이를 구하기 위한 방법과 이제 아크의 길이 중 일부분 길이 중 일부분을 봅시다 한번 해볼게요 여기 이 부분을 이 부분은 무한하게 무한하게 작은 아크 길이이며 이를 ds라 하겠습니다 당연히 이는 무한히 작다는 표현 치곤 크지만 모든 ds들을 적분한다면 모두 함께 적분한다면 구하고 싶은 곡선의 길이를 구할 수 있습니다 따라서 길이는 모든 ds들이 적분된 값이며 무한히 작은 ds들의 무한한 합입니다 이를 식으로 적기 위해선 r과 θ를 이용해 표현할 수 있습니다 우선 x와 y 사이의 식을 세우고 r과 θ를 x 와 y에 연결시키겠습니다 극형식과 직각좌표형식을 변환했을 때처럼 말이죠 d는 무한히 작은 x^2의 변화량입니다 따라서 이 점에서 이 점으로 움직이면 이는 아크 길이의 변화입니다 하지만 이 길이도 x의 변화량입니다 이를 dx라 쓰고 이를 미분식으로 적겠습니다 이는 약간 이렇게 생겼죠 하지만 무엇을 의미하는지 쉽게 알려주죠 조금 더 정확히 말하면 dx를 쓸 수도 있고 마지막에 극한을 취하지만 그냥 이렇게 쓰겠습니다 왜냐하면 적어도 저한테는 더 간단해서요 따라서 이는 이 점에서 이 점으로 움직일 경우 x값의 변화량입니다 이는 이 점에서 이 점으로 움직일 경우 y의 변화량인 dy입니다 이는 저희가 아크 길이 공식의 직각좌표의 정의를 구할 때 보았죠 ds는 dx^2의 dx^2 더하기 dy^2의 제곱근입니다 이는 피타고라스 정의에서 나오는 것이죠 더하기 dy^2 그리고 이를 적분할 수 있다면 비슷한 식을 만들 수 있죠 하지만 이 식을 어떻게 r과 θ로 표현할 수 있나요? 이를 위해선 x를 r과 θ로 표현하면 무엇인지 그리고 y를 r과 θ로 구하면 무엇인지를 구해야 합니다 x는 rcos(θ)이며 rcos(θ)이며 이를 봤던 경우는 극형식과 직각좌표의 변환에서 보았습니다 y는 rsin(θ)입니다 따라서 이를 이용하여 dx와 dy의 값을 찾을 수 있습니다 dx는 명심해야할 부분은 r은 θ의 함수값이며 다시 적어보겠습니다 따라서 x는 혹은 f(θ) 곱하기 cos(θ)이며 y는 f(θ)sin(θ)입니다 dx가 무엇인가요? dx의 값은 여기에선 곱의 공식을 사용하겠습니다 이는 f'(θ)이며 첫 번째 항의 도함수 곱하기 두 번째 항인 cos(θ) 더하기 두 번째 항의 도함수입니다 cos(θ)의 도함수는 -sin(θ)입니다 -sin(θ) 곱하기 첫 항인 f(θ) 이는 곱의 공식이죠 dx입니다 그 다음 dθ 또 다른 방법은 이 적분을 다르게 적으면 양쪽을 dθ로 나눌 수 있습니다 θ에 대한 x의 도함수는 여기 이 식입니다 이 두 식은 같은 식이죠 dy도 똑같이 구해줍니다 dy도 똑같습니다 곱셈 공식에 의하면 f'(θ) 곱하기 sin(θ) 더하기 f(θ) 곱하기 sin(θ)의 도함수인 cos(θ)입니다 cos(θ)이며 ds가 무엇인지 구하고 싶다면 dx^2과 dy^2의 합을 구해야 합니다 dx^2은 이 식을 제곱해야 합니다 따라서 제곱을 하고 여기에 dθ 제곱을 곱하면 이는 f'(θ) 제곱 (cos(θ))^2 - 2 곱하기 이 값입니다 -2 x f'(θ) f(θ), cos(θ) sin(θ) 그리고 이 항의 제곱 음수 곱하기 음수는 양수이기 때문에 더하기 f(θ)^2 sin(θ)^2입니다 이는 dx^2이며 물론 dθ도 있으며 아직 끝난게 아닙니다 dθ^2도 있습니다 이제 dy^2을 구해봅시다 dy^2의 값은 이 항의 제곱은 dy는 dθ이며 잊지 말아야 합니다 여기에 이는 f'(θ) f'(θ)^2이며, sin(θ)^2 sin(θ)^2 그리고 2 곱하기 이 항입니다 f'(θ) 좀 복잡하네요 하지만 곧 깔끔해집니다 f(θ), cos, sin, cos(θ) sin(θ) 그리고 제곱을 합니다 이 항 더하기 f(θ)^2 곱하기 cos cos(θ)^2 곱하기 dθ^2입니다 dθ^2 이제 이 둘을 더해봅시다 더해봅시다 어떤 결과가 나오나요? dx^2와 dy^2을 더하면 dx^2 + dy^2 dx^2 + dy^2은 여기에는 cos(θ)^2 더하기 f'(θ)^2 그리고 sin(θ)^2 곱하기 f'(θ)^2 따라서 f'(θ)^2로 묶어낼 수 있습니다 그 결과는 이 항으로 묶어내면 이는 f'(θ)^2 곱하기 cos(θ)^2 더하기 sin(θ)^2입니다 더하기 sin(θ)^2이고 간단해지죠 이는 1과 같습니다 이는 기본 삼각함수 항등식에 따릅니다 하지만 이 두 항은 서로 상쇄합니다 이는 서로 반대되는 항이죠 이 둘은 상쇄하며 여기선 f(θ)^2으로 묶어낼 수 있습니다 f(θ)^2로 묶어내면 더하기 f(θ)^2 곱하기 sin(θ)^2 더하기 cos(θ)^2 더하기 cos(θ)^2가 됩니다 간단해졌네요 이는 1과 같습니다 이 항과 그리고 dθ^2 dθ^2은 모든 항에 곱해집니다 여기 있는 모든 항들에 dθ^2이 곱해집니다 이를 봤을 때 dθ^2의 계수라 할 수 있고 이 둘을 더합니다 이제 깔끔해지며 dx^2 + dy^2 더하기 dy^2는 f'(θ)^2 더하기 f(θ)^2입니다 이 모든것 곱하기 새로운 색으로 적을게요 이 모든 항 곱하기 d(θ)^2입니다 이 색을 이미 썼네요 보라색을 쓸게요 이 모든 항 곱하기 d(θ)^2입니다 이제 ds는 이 항의 제곱근입니다 따라서 ds는 이 식의 제곱근입니다 혹은 이 식의 제곱근이죠 이를 구해봅시다 a로 묶어내서 d(θ)^2의 제곱근은 d(θ)^2의 제곱근은 d(θ)입니다 이를 빼냅시다 이제 f'(θ)^2 이제 f'(θ)^2 더하기 f(θ)^2가 있습니다 dθ^2을 빼내고 dθ^2을 빼내고 dθ로 빼냅니다 흥미롭네요 이를 적분하기 위해선 이를 적분하기 위해선 이를 적분하기 위해선 여기서 적분합니다 처음 시작한 θ에서 적분을 하여 a 부터 b까지 적분을 합시다 이와 같이 타당한 증명을 했습니다 혹은 개념적 이해를 극형식을 다루는 아크 길이의 공식에 대한 이해를 했습니다 r = f(θ)라면 f'(θ)구하면 이를 θ에 대한 r의 도함수로 생각할 수 있습니다 이에 f(θ)^2을 더하고 제곱근을 씌워서 a 부터 b까지 적분합니다 여기에 아크의 길이 길이는 이와 같습니다 다음 영상에서 이를 사용해 볼게요