예제: 극곡선의 호 길이

제가 이 영상에서 하고 싶은 것은 이 꽃잎 한 개의 길이를 구하는 것입니다 그냥 꽃잎이라고 부를게요 이 그래프는 r=4sin(2θ)의 그래프입니다 그리고 저는 곡선의 이 빨간색 부분의 길이를 구하고 싶습니다 두 단계에 걸쳐서 구하도록 하겠습니다 먼저 길이를 구하는 정적분식을 세운 뒤 그 정적분을 계산하도록 하겠습니다 최종 정적분은 계산하기 까다롭기 때문에 그냥 계산기로 계산하도록 하겠습니다 그냥 계산기로 계산하도록 하겠습니다 그럼 시작해 봅시다 먼저 영상을 멈추고 여러분들이 알고 있는 극좌표계에서의 곡선의 길이 공식을 이용하여 스스로 한 번 이 꽃잎의 길이를 구해 볼 것을 권장해 드립니다 한 번 시도해 보셨으리라 믿습니다 먼저 정적분의 범위를 구해봅시다 정적분의 범위는 시작 각도에서 종점 각도까지로 α에서 β까지라고 하겠습니다 정적분의 대상은 √(r'(θ)²+r(θ)²)입니다 √(r'(θ)²+r(θ)²)입니다 먼저 r'(θ)와 r(θ)를 구해 봅시다 먼저 r'(θ)와 r(θ)를 구해 봅시다 서로 다른 색으로 구별하겠습니다 먼저 r(θ)는 다음과 같습니다 먼저 r(θ)는 다음과 같습니다 r(θ)는 4sin(2θ)입니다 r'(θ)는 4sin(2θ)를 θ에 대해 미분하면 됩니다 sin을 미분하면 cos가 되고 계수 2가 밖으로 나오므로 8cos(2θ)가 됩니다 구한 함수들을 정적분식에 대입해 봅시다 구한 함수들을 정적분식에 대입해 봅시다 먼저 시작 각도는 무엇인가요? 우리가 관심 있는 꽃잎의 경우 시작 각도는 0도입니다 θ=0일 때 r=0이며 이는 원점에 해당합니다 시작 각도는 0도입니다 여기서부터 π/2까지 올라갑니다 sin(π/2)=0이므로 이 각도에서 다시 원점으로 되돌아옵니다 바로 이 지점입니다 따라서 우리는 θ=0에서 θ=π/2까지 이동합니다 이 모든 값을 곡선의 길이 공식에 대입하면 이 모든 값을 곡선의 길이 공식에 대입하면 r'(θ)의 제곱은 이 식의 제곱이므로 r'(θ)의 제곱은 이 식의 제곱이므로 r'(θ)의 제곱은 이 식의 제곱이므로 64cos²(2θ)입니다 그리고 r(θ)의 제곱을 더해줘야 합니다 이는 16sin²(2θ)입니다 마지막으로 dθ를 붙여줍니다 이 정적분은 풀 수는 있지만 그렇게 간단하지는 않기 때문에 저는 그냥 계산기를 쓰도록 하겠습니다 21세기 4차 산업혁명 시대에 우리가 쓸 수 있는 도구는 펜과 종이보다는 더 다양하거든요 제가 사용할 계산기는 t85입니다 이 계산기는 정적분을 지원해 주기 때문입니다 정적분식을 계산기에 입력해 줍시다 제곱근 64cos²(2θ) 더하기 제곱근 64cos²(2θ) 더하기 θ대신 x를 사용할게요 왜냐하면 계산기에서 입력하기가 더 편하거든요 괄호도 제대로 넣어줍시다 괄호도 제대로 넣어줍시다 괄호도 제대로 넣어줍시다 이걸 제곱해줍시다 첫 번째 항은 끝났네요 더하기 16sin(2x) 더하기 16sin(2x) 더하기 16sin(2x) 더하기 16sin(2x) 더하기 16sin(2x) 괄호 닫고요 제곱해 줍시다 이 계산기가 이걸 곱하기로 인식할지 모르겠네요 여기에 곱하기를 넣어줍시다 64cos²(2x) + 16sin²(2x) 64cos²(2x) + 16sin²(2x) 끝으로 가서 루트를 닫아주고요 루트를 닫아주고요 루트를 닫아주고요 콤마를 찍어준 후 x에 대한 정적분이라는 것을 알려줍시다 이 식의 모든 θ를 x로 바꿔줄 뿐입니다 마찬가지로 θ=0부터 θ=π/2를 x=0에서 x=π/2로 바꿔줍시다 오타를 내지 않았기를 빕시다 그리고 계산하면 계산하는데 시간이 꽤 걸리네요 결과는... 결과가 나오기는 하나요? 오 드디어! 소수점 세 번째 자리에서 반올림하면 9.688이라는 결과가 나왔습니다 이 정적분의 값은 약 9.688입니다 한번 말이 되는 결과인지 봅시다 r이 4만큼 뻗어 나가니까 직선으로 4만큼 뻗어 나가고 다시 돌아오면 길이는 8이 되겠네요 물론 곡선 경로다 보니 이것보다는 곡선이 더 길겠죠 그래서 곡선의 길이가 9.866이라는 답은 꽤 그럴듯한 답이네요 즐겁게 보셨길 바랍니다 커넥트 번역 봉사단 | 최정담