닮음을 이용한 피타고라스 정리 증명

이 삼각형은 직각삼각형입니다 직각삼각형이란 내각 중 하나가 90도인 직각을 포함하는 삼각형입니다 직각삼각형의 가장 긴 변은 90도의 각과 마주 보는 변이며 이 변은 빗변이라고 합니다 빗변은 직각삼각형의 가장 긴 변이고 90도의 각과 마주 보는 변입니다 빗변이라는 단어를 기억해두면 유용해요 삼각형에서 가장 긴 변 또는 90도와 마주 보는 변을 빗변이라고 할 수 있기 때문이죠 이번 동영상에서는 직각삼각형의 각 변과 길이 사이의 관계를 증명해 보겠습니다 이 직각삼각형의 변 AC의 길이를 a라고 하고 BC의 길이를 b라고 하겠습니다 꼭짓점은 대문자로 변의 길이는 소문자로 표시할게요 마지막으로 빗변의 길이 즉, AB의 길이는 c라고 할게요 이제 a, b, c 사이의 관계를 증명해 봅시다 먼저 직선 또는 선분을 C와 빗변 사이에 그려 볼게요 빗변과 수직으로 만나도록 그려볼 거예요 빗변과 만나는 점을 D라고 하겠습니다 어떻게 이렇게 그릴 수 있을까요? 삼각형 전체를 회전시킨다고 해 봅시다 완벽한 증명은 아니지만 이 점을 어떻게 그리는지 설명해 드릴게요 회전시키면 삼각형의 빗변은 아래로 갑니다 여기는 점 B이고 여기는 점 A가 되겠죠 삼각형을 회전시켰으므로 여기는 점 C입니다 이 점에서 돌을 하나 떨어뜨린다면 빗변과 수직으로 닿겠죠 이렇게 선분 CD를 그릴 수 있습니다 여기에 점 D라고 표시했었죠 이를 통해 삼각형 안에 있는 작은 삼각형들 사이의 관계를 알아낼 수 있어요 여기 삼각형이 세 개 있습니다 삼각형 ADC와 삼각형 DBC가 있고 처음의 큰 직각삼각형이 있죠 삼각형 사이의 닮음을 생각해 봅시다 먼저 삼각형 ADC가 큰 삼각형과 닮았다는 것을 보여드릴게요 삼각형 ADC는 이곳에 직각이 있습니다 이 각이 90도이므로 이 각도 90도겠죠 두 각을 더하면 180도가 됩니다 그러므로 작은 삼각형과 큰 삼각형 모두 직각을 가지고 있어요 그리고 두 삼각형은 각 A를 공유하고 있습니다 각 DAC라고 할 수도 있고 각 BAC라고 할 수도 있죠 이를 한번 써 볼게요 작은 삼각형 ADC부터 먼저 봅시다 삼각형 ADC에 빗금을 쳐 볼게요 삼각형 ADC의 이름은 파란색 각부터 직각, 이름 없는 각 순서대로 이름을 붙인 거예요 여기 표시된 직각은 큰 삼각형의 직각을 나타냅니다 삼각형 ADC는 삼각형 ACB와 닮음입니다 삼각형 ACB의 이름 역시 파란색 각 A에서 시작해서 직각, 나머지 각 순서대로 이름을 붙였습니다 삼각형 ACB입니다 두 삼각형이 서로 닮음이므로 변의 길이 사이의 비의 관계를 알 수 있어요 예를 들어 닮음인 삼각형은 보통 대응하는 변 사이의 비가 항상 일정합니다 두 삼각형의 변의 비를 따져 봅시다 작은 삼각형의 빗변 AC와 큰 삼각형의 빗변 AB의 비인 AC/AB는 닮음인 두 삼각형에서 대응하는 다른 변의 비인 작은 삼각형의 다른 변 AD와 이에 대응하는 큰 삼각형의 변 AC의 비 AD/AC와 같습니다 작은 삼각형을 보면 파란색과 빨간색 각 사이에 변 AD가 있고 큰 삼각형에서도 파란색과 빨간색 각 사이에 변 AC가 있습니다 따라서 양변의 분모는 큰 삼각형의 변이고 이 둘은 작은 삼각형에서 그에 대응하는 변입니다 혼란스러울 수도 있지만 닮음을 정확하게 표현한다면 서로 대응하는 점을 찾을 수 있습니다 변 AC는 큰 삼각형의 AB에 대응하고 작은 삼각형에서 AD는 큰 삼각형의 AC에 대응하는 변입니다 변 AC는 a로 나타낼 수 있습니다 AD를 나타내는 문자가 없네요 AB는 c였죠 AD는 d로 나타내 봅시다 d는 이 부분이고 c는 빗변 전체를 나타냅니다 DB를 길이 e라고 하겠습니다 이렇게 문자로 표시하면 편해요 AD를 d라고 하면 a/c = d/a이므로 교차로 곱해주면 a² = cd가 됩니다 다른 삼각형에서도 이렇게 할 수 있는지 볼까요? 이 삼각형을 봅시다 이 삼각형과 큰 삼각형 모두 직각이 있고 이 각을 서로 공유하니까 두 각이 같은 AA닮음으로 두 삼각형은 닮음입니다 오른쪽에 분홍색으로 써 볼게요 삼각형 BDC와 닮음인 삼각형의 이름은 큰 삼각형의 분홍색 각 B에서부터 시작해서 직각으로 가는 순서이므로 삼각형 BCA가 됩니다 분홍색 각, 직각 파란색 각의 순서대로 삼각형의 이름을 붙였습니다 이제 관계를 정의해 봅시다 작은 삼각형의 빗변 BC를 큰 삼각형의 빗변 BA로 나누면 두 삼각형의 빗변의 비를 알 수 있습니다 BC/BA는 작은 삼각형의 짧은 변 BD와 그에 대응하는 큰 삼각형의 변 BC의 비 BD/BC와 같습니다 BC는 b와 같고 BA는 c와 같습니다 BD는 e와 같죠 이를 교차로 곱해 볼까요? 왼쪽 분자의 b와 오른쪽 분모의 b를 곱합니다 교차로 곱해주는 것은 두 분수의 각 분자에 다른 분수의 분모를 곱하는 거예요 이렇게 하면 b² = ce가 됩니다 이제 두 식을 더해 볼까요? b² = ce를 이 밑에 다시 써 볼게요 좌변끼리 더하면 a² + b² = cd + ce c가 각 항에 공통으로 들어 있으므로 c로 묶어내면 c(d + e)가 될 것입니다 그럼 d + e는 무엇일까요? d는 이 부분의 길이고 e는 이 길이입니다 따라서 d + e는 c가 되겠죠 c × c = c² 흥미로운 결과가 나왔네요 a² + b² = c² 다시 적어 볼게요 다른 색으로 써 볼까요? 실수로 지워 버렸네요 다시 써 볼게요 이렇게 a² + b² = c²을 증명해 보았습니다 직각삼각형의 안에 있는 두 직각삼각형을 이용해 각 변의 길이를 제곱해서 더한 값이 빗변의 길이를 제곱한 값과 같다는 것을 알아냈습니다 이것은 정말 쉽고 널리 알려진 수학 정리입니다 이 식은 수학자 피타고라스의 이름을 따서 피타고라스의 정리라고 부릅니다 이 정리는 기하학의 기초가 되는 정리이며 삼각함수의 기초이기도 합니다 이 정리는 두 변의 길이가 주어졌을 때 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용합니다