다른 방법으로 피타고라스 정리 증명하기

피타고라스의 정리를 가능한 여러 가지 방법으로 증명해 보려고 하고 있어요 그러니까 하나 더 해 보겠습니다 먼저 직각삼각형을 그려 봅시다 빗변이 아래에 오도록 그려 볼게요 보기 쉽도록 최대한 크게 그리겠습니다 이게 직각삼각형의 빗변이고 다른 두 변을 그릴텐데요 두 변의 길이가 같아도 되지만 한 변을 더 길게 그려 보겠습니다 이 변의 길이를 a라고 합시다 그 다음에 여기에 변을 그려 볼게요 이 변의 길이는 b라고 하겠습니다 확실히 직각삼각형이 되도록 길이를 조금만 더 늘려 보겠습니다 이 부분이 90도입니다 먼저 이 삼각형을 반시계 방향으로 90도 회전시켜 보겠습니다 즉, 도형을 이렇게 회전시켜서 이 도형과 완전히 합동인 새로운 도형을 그려볼 거예요 그래서 90도로 돌리면 빗변이 위쪽을 향하게 됩니다 최대한 비례하도록 그려 보겠습니다 길이가 a인 변은 이렇게 그려지겠죠 이 변과 평행하겠네요 이 변이 길이가 a인 변입니다 이때 이 각은 90도입니다 도형을 회전시켰을 때 대응하는 변 사이의 각은 항상 90도가 되기 때문입니다 이제 길이가 b인 변을 그려 볼게요 이 변이 길이가 b인 변입니다 직각은 여기에 있겠죠 도형을 반시계 방향으로 90도 회전시켰습니다 이제 평행사변형을 그려볼 거예요 일단 회전시킨 도형에 이름을 붙일게요 여기는 빗변 c입니다 이제 이 점에서 빗변 c를 그려 볼게요 여기도 빗변 c입니다 여기 이 점과 저 점 사이의 길이는 무엇일까요? 길이를 구해 봅시다 힌트를 주자면 이 도형은 평행사변형이므로 이 변과 저 변은 평행할 거예요 서로 같은 거리만큼 떨어져 있습니다 이 부분과 가로 세로 방향으로 같은 거리만큼 이동했으므로 길이가 같겠죠 따라서 이 변의 길이도 a가 됩니다 지금 그린 평행사변형의 넓이는 무엇일까요? 넓이를 구하기 위해 평행사변형을 다시 그려 봅시다 이 변의 길이는 a이고 이 변의 길이도 a입니다 여기는 길이가 c이고 여기도 길이가 c입니다 여기서 오른쪽 그림의 이 부분이 단서입니다 이 부분이 바로 평행사변형의 높이입니다 여기에 평행사변형의 높이가 주어졌습니다 이 변은 밑변과 직각을 이루죠 그러므로 평행사변형의 높이는 a입니다 이제 넓이를 구해 볼까요? 평행사변형의 넓이는 밑변 × 높이입니다 따라서 평행사변형의 넓이는 a²입니다 이제 처음에 있던 삼각형을 반대쪽으로 회전시켜 봅시다 시계방향으로 90도 회전시켜 봅시다 이번에는 오른쪽 점을 축으로 회전시킬 거예요 길이가 c인 변을 회전시키면 이렇게 위로 이동하겠죠 최대한 비례하게 그려보겠습니다 이 변의 길이는 c입니다 길이가 b인 변은 이렇게 되겠죠 저 변에 평행하고 이 각은 직각이 됩니다 이 변은 길이가 b인 변이에요 그 다음 길이가 a인 변은 여기에 있겠죠 그래서 이게 a이고 이 변은 b입니다 b를 파란색으로 표시할게요 회전시키면 직각은 여기있겠죠 이제 아까와 같은 방법으로 여기에 평행사변형을 그려볼 거예요 여기는 높이 c이고 여기도 높이 c입니다 마찬가지로 이 변이 b라면 이 변 역시 b일 것입니다 가로로 같은 거리만큼 떨어져 있으며 세로로 같은 거리만큼 떨어져 있으므로 두 쌍의 변은 평행합니다 따라서 아래쪽 변과 위쪽 변 모두 길이가 b입니다 이 평행사변형의 넒이는 무엇일까요? 보기 쉽게 평행사변형을 다시 그려 볼게요 파란색 변을 그려 볼게요 두 변 모두 길이가 b입니다 그 다음에 길이가 c인 변들이 있죠 높이는 이 부분이 되겠죠 높이는 b입니다 도형을 90도만큼 회전했기 때문에 이 각이 90도라는 것을 알고 있습니다 이렇게 평행사변형을 다시 그려 보았어요 평행사변형의 넓이는 밑변 × 높이이므로 이 평행사변형의 넒이는 b²입니다 이제 더 재미있는 것을 해 볼 거예요 두 평행사변형을 복사해서 붙여 볼게요 여러분도 재미있다고 느끼실 거예요 이 도형을 잘 선택하고 복사해서 아래애 붙여 넣어 볼게요 여기 그려진 도형의 전체 넓이를 확실히 알 수 있겠죠? 필요 없는 부분을 지워서 깔끔하게 정리해 볼게요 살펴볼 도형을 알아보기 쉽도록 지저분한 부분을 정리할 거예요 여기도 좀 지우고 이 부분도 좀 지우고 여기 아랫부분도 지우도록 하겠습니다 이 변의 길이는 c였죠 위쪽에 다시 그려 볼게요 처음 도형에서 가져온 이 변의 길이는 c죠 이 높이도 c이고 아래쪽 변도 c입니다 이때 나뉜 도형의 넓이를 모두 합하면 얼마일까요? a² + b²이 되겠죠 두 평행사변형의 넓이는 a² + b²입니다 이제 이 도형을 다시 배치해서 도형의 전체 넓이를 c에 대해 나타내 봅시다 아까 왜 선을 여기에 그렸었는지 눈치채셨나요? 흰색으로 다시 그려 볼게요 이 부분의 길이는 c입니다 처음 도형에 나와있던 정보입니다 이 길이는 c이고 저 길이도 c이며 이 길이도 c입니다 이제 처음의 직각삼각형과 완전히 합동인 도형의 위에 있는 직각삼각형을 아래로 이동시킬 수 있습니다 도형 위의 직각삼각형을 포함한 전체 넓이는 a² + b²이에요 여기 빠져 있는 넓이는 위에 있는 이 도형과 같아요 이 도형을 밑에 합치면 어떻게 될까요? 이 도형을 잘라서 붙여 볼게요 위에 있던 삼각형을 밑으로 이동시키면 다음과 같습니다 넓이가 a² + b²인 도형을 재배치해서 넓이가 a² + b²인 정사각형을 만들었습니다 a²은 이 부분의 넓이가 되겠죠 위에 있던 삼각형을 옮겼을 뿐 넓이는 같아요 b²은 이 부분의 넓이입니다 그럼 전체 넓이를 c로 나타내 볼까요? 이 도형은 가로와 세로가 c인 정사각형입니다 그러므로 이 도형의 넓이는 c²이죠 따라서 a² + b² = c²입니다 이렇게 피타고라스의 정리를 증명했습니다