평균값 정리 예제: 제곱근함수

f(x) = √(4x-3) f(x) = √(4x-3) 닫힌 구간 1≤x≤3에 대하여 닫힌 구간 1≤x≤3에 대하여 f에서 평균값 정리가 성립하도록 하는 값을 c라고 할 때 f에서 평균값 정리가 성립하도록 하는 값을 c라고 할 때 c는 얼마일까요? 우선 c가 f에서 평균값 정리가 성립하도록 하는 값이라는 것이 어떤 의미인지 봅시다 이는 위에 주어진 구간에서 x=c에서의 접선의 기울기 x=c에서의 접선의 기울기 즉, f'(c)의 값이 즉, f'(c)의 값이 구간의 두 끝점을 잇는 할선의 기울기와 같다는 것입니다 결국 f'(c)는 두 점을 잇는 할선의 기울기 즉 /(3-1)와 같습니다 즉 /(3-1)와 같습니다 즉 /(3-1)와 같습니다 이 조건이 시각적으로는 어떤 의미를 가질까요? 이 조건이 시각적으로는 어떤 의미를 가질까요? x축을 그립시다 x축을 그립시다 여기에 점 (1, f(1))을 찍읍시다 여기에 점 (1, f(1))을 찍읍시다 즉 (1, 1)이죠 즉 (1, 1)이죠 그리고 여기가 (3, f(3))입니다 즉 (3, 3)이죠 그리고 곡선은 이렇게 생겼습니다 그리고 곡선은 이렇게 생겼습니다 이때 이 두 점을 잇는 직선의 기울기를 생각합시다 이 직선의 기울기이죠 평균값 정리가 알려주는 것은 1과 3 사이에 어떤 점이 존재해서 그 점에서 접선의 기울기가 앞의 기울기와 같다는 것입니다 그 점에서 접선의 기울기가 앞의 기울기와 같다는 것입니다 이쯤에 있는 점이겠네요 우리가 하려던 것은 그 위치를 찾는 것입니다 즉, 어떤 점에서 접선의 기울기가 양 끝점을 잇는 직선의 기울기와 양 끝점을 잇는 직선의 기울기와 같은 값을 가질 때 이 점이 c가 됩니다 그리고 우리는 c를 구해야 하죠 그러니 우선 f'(x)가 무엇인지 구하고 c를 대입한 뒤 우변의 식을 계산합시다 f(x)를 다시 쓰면 f(x) = (4x-3)^(½) 이고 이 식은 chain rule을 더 분명하게 적용할 수 있습니다 따라서 f'(x)는 (4x-3)^(½)를 (4x-3)에 대해 미분한 것 (4x-3)^(½)를 (4x-3)에 대해 미분한 것 즉 ½(4x-3)^(-½)에 즉 ½(4x-3)^(-½)에 (4x-3)을 x에 대해 미분한 것을 (4x-3)을 x에 대해 미분한 것을 곱한 것이 됩니다 4x를 x에 대해 미분하면 4이고 -3을 x에 대해 미분하면 0이므로 -3을 x에 대해 미분하면 0이므로 (4x-3)을 x에 대해 미분하면 4입니다 (4x-3)을 x에 대해 미분하면 4입니다 그러므로 4를 곱합시다 따라서 f'(x)는 4 곱하기 ½(4x-3)^(-½) 이는 2/(4x-3)^(½)입니다 (4x-3)^(½)는 √(4x-3)과 같으므로 (4x-3)^(½)는 √(4x-3)과 같으므로 이 식을 분모에 대신 넣읍시다 이 식을 분모에 대신 넣읍시다 따라서 f'(c)는 다시 쓰면 2/√(4c-3)이고, 이 식은 무엇과 같았죠? 이 식은 무엇과 같았죠? f(3) = 3 이고, f(1) = 1이므로 (3 - 1)/(3 - 1) = 2/2 = 1입니다 (3 - 1)/(3 - 1) = 2/2 = 1입니다 따라서 1과 3 사이의 어떤 점에서 그 점에서의 미분계수 즉 접선의 기울기가 1이 됩니다 이 방정식을 풀어봅시다 양변에 √(4c-3)을 곱하면 양변에 √(4c-3)을 곱하면 2 = √(4c-3) 2 = √(4c-3) 분모에 있는 √(4c-3)을 없애기 위해 분모에 있는 √(4c-3)을 없애기 위해 양변에 √(4c-3)를 곱했습니다 이제 제곱근을 없애기 위해 이제 제곱근을 없애기 위해 양변을 제곱하면 양변을 제곱하면 4 = 4c-3 양변에 3을 더하면 7 = 4c 그리고 양변을 4로 나눕시다 c = 7/4 를 얻었습니다 c = 7/4 를 얻었습니다 앞에서 그림으로 그린 것보다는 이 위치에 조금 더 가깝네요 그래도 꽤 근접했습니다 그래도 꽤 근접했습니다 손으로 그렸기 때문에 정확하지 않네요 어쨌건 이 상황이 어떤 모습인지 짐작할 수 있었습니다 평균값 정리는 어떤 c에서의 접선의 기울기가 (1, f(1)), (3, f(3))을 이은 직선의 기울기와 같다는 것을 알려줍니다