도함수 판정법으로 극값 구하기

지난 번 동영상에서 어떤 함수에 대해서 그 함수가 x=a가 극소점 혹은 극대점일 때 a를 임계점이라고 한다는 것을 배웠습니다 하지만 그 역은 항상 성립하는 것이 아닙니다 x=a가 임계점이라고 해서 꼭 그점이 극소점 혹은 극대점이 되는 것은 아닙니다 따라서 이번 동영상에서는 x=a 주변에서의 함수의 도함수를 이용한 어떤 기준을 통해서 그 점이 극소점 혹은 극대점이 되는지 확인하는 방법을 배워보겠습니다 그러면 지난 번 영상에서 했던 것을 다시 살펴봅시다 이 점이 바로 함수가 최댓값을 갖는 지점이고 이 점을 x0라고 했습니다 이 점이 임계점임은 도함수가 0임을 통해서 확인할 수 있습니다 임계점은 그 점에서 도함수가 0이거나 정의되지 않는 점입니다 따라서 이 점은 임계점이겠죠 이제 이 점에 근접할 때 도함수가 어떻게 변화하는지를 살펴봅시다 이 점이 극대점이 되려면 이 점에 접근을 할 때 함숫값이 증가해야 합니다 다시 말해서 접선의 기울기가 양수가 되어야 합니다 접선의 기울기는 계속 변하지만 항상 양수를 유지하기 때문에 함숫값이 증가한다고 할 수 있습니다 그리고 접선의 기울기가 양수라는 것은 그 점에 접근할 때 도함수가 0보다 크다는 것을 의미합니다 그렇다면 이 점을 지나고 난 후에는 어떻게 될까요? 이 점에서의 접선의 기울기는 0입니다 이 점이 극대점이 되기 위해서는 이 점을 지난 후의 접선의 기울기는 어떻게 되어야 할까요? 함숫값이 점차 감소해야겠죠 함숫값이 점점 감소한다는 것은 접선의 기울기가 계속 음수임을 의미합니다 다시 말하자면 도함수가 음수가 되어야 합니다 이제 이 임계점이 극대점이 되기 위한 충분한 조건을 찾았습니다 충분한 조건을 찾았습니다 임계점 a가 있다고 가정해봅시다 만약 f'(x)의 부호가 x=a를 지나면서 양에서 음으로 변한다면 이 함수는 x=a에서 극댓값을 갖는다고 할 수 있습니다 이 점에 대해서 했던 것과 동일한 과정이죠 이제 이 규칙이 여기에 있는 다른 극대점에 대해서도 성립하는지 확인해봅시다 이 점에 접근할 떄 함숫값은 증가하고 있으며 이는 접선의 기울기가 양수라는 뜻입니다 하지만 앞에서 보았던 증가와는 약간 다릅니다 이 경우에는 기울기가 점점 더 급해집니다 즉 점점 더 큰 양수가 된다는 뜻이죠 하지만 중요한 것은 항상 양수라는 것입니다 즉 이 점에 접근할 때 접선의 기울기는 양수입니다 그리고 이점을 지나간 후에는 음수가 됩니다 정확히 이 지점에서는 접선의 기울기가 정의되지 않지만 여전히 이 임계점의 좌우에서 기울기가 양에서 음으로 변했죠 따라서 이 점 역시 앞에서 찾은 임계점이 극대점이기 위한 조건을 만족한다는 것을 알 수 있습니다 이제 이 점에 대해서 같은 규칙을 적용해 보고 이 규칙이 옳은지 확인해 봅시다 먼저 각각의 점들에 기호를 붙일게요 이 점을 x1이라고 하고 이 점을 x2라고 하고 이 점을 x3라 할게요 이제 이 점에서 앞에서 찾은 규칙을 적용해 볼텐데요 이 점은 대충 보아도 극대점이 아니므로 앞의 규칙과 맞지 않아야 겠죠? 이 점에 접근을 할 때 접선의 기울기는 음수입니다 그리고 이 임계점을 지난 후에도 접선의 기울기는 여전히 음수입니다 즉 부호가 바뀌지 않았죠 따라서 이 점은 앞의 규칙을 만족하지 않고 이는 그 규칙이 옳다는 것을 보여줍니다 이제 극소점에 대해서 같은 방법으로 규칙을 찾아봅시다 지난 번 동영상에서 이 점이 극소점이라고 했었습니다 지난 번 동영상에서 이 점이 극소점이라고 했었습니다 눈으로 대충 보아도 극소점임을 쉽게 알 수 있죠 그렇다면 이 점에 접근할 때 접선의 기울기는 어떻게 변할까요? 함숫값이 점차 감소하고 있으므로 접선의 기울기는 음수입니다 즉, 이 점에 접근할 때 f'(x)는 0보다 작은 값입니다 그리고 이 점이 극소점이 되려면 이 점을 지나간 후에도 함숫값이 계속 감소해서는 안되겠죠? 이제는 함숫값이 증가해야 합니다 이 점을 지난 후에 함수의 그래프를 살펴보면 함수는 다시 증가합니다 즉, f'(x)가 0보다 큰 값이 됩니다 여기서 극소점을 찾기 위한 충분한 조건을 찾을 수 있겠네요 f'(x)의 부호가 x=a를 지나면서 음에서 양으로 변했습니다 어떠한 임계점 a가 있을 때 만약 이 함수의 도함수의 부호가 x=a를 지나면서 음에서 양으로 바뀐다면 이 점은 극소점이 되는 것입니다 이제 앞에서 했던 것처럼 x3가 이 규칙을 정말 만족하지 않는지 확인해 보겠습니다 접선의 기울기는 음수에서 0이 되고 다시 음수가 됩니다 즉, 이 점 x3는 극소점도 극대점도 아니겠죠