극대 & 극소 복습

미적분학을 이용해 극점(극대점과 극소점)을 구하는 방법을 복습해 봅시다.

미분법을 이용하여 극대점과 극소점을 어떻게 찾을 수 있나요?

극대점이란, 함수가 증가에서 감소로 바뀌는 점을 말합니다 (그래프에서 그 점이 "그 부근에서 가장 큰 함숫값을 가진 점"으로 보입니다).

비슷하게, 극소점이란, 함수가 감소에서 증가로 바뀌는 점을 말합니다 (그래프에서 그 점이 "그 부근에서 가장 작은 함숫값을 가진 점"으로 보입니다).

함수의 증가 & 감소 구간을 찾을 수 있다고 가정했을 때, 극값을 찾기 위해선 한 단계만 더 거치면 됩니다: 함수의 증가, 감소가 바뀌는 점을 찾아야 합니다.

미분법과 극값에 대해 더 배우고 싶은가요? 이 강의를 확인해 보세요.

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 7

의 극값을 찾아 보세요. 먼저,

f

를 미분해 봅시다:

f^{'} (x) = 3 (x + 3) (x - 1)

임계점은

x = - 3

과

x = 1

입니다.

각 구간에서의

f^{'}

를 계산하여 해당 구간에서 양수인지 음수인지 확인합시다.

구간	$x$ ‍값	$f^{'} (x)$ ‍	결론
$x < - 3$ ‍	$x = - 4$ ‍	$f^{'} (- 4) = 15 > 0$ ‍	$f$ ‍는 증가합니다. $↗$ ‍
$- 3 < x < 1$ ‍	$x = 0$ ‍	$f^{'} (0) = - 9 < 0$ ‍	$f$ ‍는 감소합니다. $↘$ ‍
$x > 1$ ‍	$x = 2$ ‍	$f^{'} (2) = 15 > 0$ ‍	$f$ ‍는 증가합니다. $↗$ ‍

이제 임계점을 확인해 봅시다:

$x$ ‍	이전	이후	결론
$- 3$ ‍	$↗$ ‍	$↘$ ‍	극대
$1$ ‍	$↘$ ‍	$↗$ ‍	극소

따라서, 함수는 $x = - 3$ ‍에서 극대값, $x = 1$ ‍에서 극소값을 갖습니다.

연습문제 1

h (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 4

$h$ ‍의 극대인 $x$ ‍값은 무엇인가요?

비슷한 문제를 더 풀어보고 싶은가요? 이 연습문제를 확인해 보세요.

정렬 기준:

포스트가 아직 없습니다.