합성 함수의 미분법 증명

이번 비디오에서 하고자 하는 것은 유명하고 유용하지만 때로는 어려운 연쇄 법칙에 대한 증명입니다 그리고 여러분이 "미분 가능하면 연속이다"에 관한 동영상을 이미 봤고 독립 변수인 x가 0에 접근할 때 연속함수가 어떻게 변화하는지 안다면 이 증명은 매우 간단합니다 이제 시작해 봅시다 이것은 연쇄 법칙의 많은 증명 중 하나입니다 연쇄법칙에 의하면 y가 u에 대한 함수이고 다시 u는 x에 대한 함수일 때 y의 도함수를 알기 위해서 함수 y를 x에 대해 미분합니다 함수 y를 x에 대해 미분합니다 이것은 x에 대한 y의 도함수로 나타낼 수 있고 이것은 x에 대한 y의 도함수로 나타낼 수 있고 u에 대한 y의 도함수와 u에 대한 y의 도함수와 x에 대한 u의 도함수의 곱과 동일합니다 이것이 바로 연쇄법칙입니다 그러면 어떻게 이것을 증명할 수 있을까요? 이를 위해서는 x에 대한 y의 도함수가 x에 대한 y의 도함수가 x의 변화량이 0에 가까워질 때의 y의 변화량/x의 변화량임을 알아야 합니다 이제 새로운 변수인 u의 변화량을 도입하여 표현해 봅시다 x에 대한 y의 도함수는 x의 변화량이 0에 가까워질 때의 극한 값과 같고 이를 u의 변화량으로 표현하면 이를 u의 변화량으로 표현하면 y의 변화량/u의 변화량과 y의 변화량/u의 변화량과 u의 변화량/x의 변화량 의 곱으로 나타낼 수 있습니다 u의 변화량/x의 변화량 의 곱으로 나타낼 수 있습니다 다시 말하면 y의 변화량/u의 변화량 곱하기 u의 변화량/x의 변화량이 됩니다 여기에서 각 분수는 숫자에 불과하기 때문에 u의 변화량이 약분될 수 있습니다 따라서 y의 변화량/x의 변화량만 남게 되고 이것은 좌변과 정확히 동일합니다 여기까지는 어려운 내용이 없습니다 문제는 지금부터 입니다 문제는 지금부터 입니다 두 곱의 극한은 각 극한값의 곱과 동일하므로 이것은 x의 변화량이 0에 가까워질 때의 x의 변화량이 0에 가까워질 때의 y의 변화량/u의 변화량과 y의 변화량/u의 변화량과 y의 변화량/u의 변화량과 x의 변화량이 0에 가까워질 때의 x의 변화량이 0에 가까워질 때의 x의 변화량이 0에 가까워질 때의 u의 변화량/x의 변화량의 곱과 같습니다 u의 변화량/x의 변화량의 곱과 같습니다 u의 변화량/x의 변화량의 곱과 같습니다 이제 이것을 어떻게 간단하게 표현할 수 있을까요? 먼저 이 등호가 성립하기 위해서는 우리는 함수 u와 y가 x에 대해 미분가능하다고 가정해야 합니다 다시 말하면 이것이 성립하기 위해서는 함수 y와 u가 x에 대해 미분가능하다고 가정해야 합니다 이 때 x에 대해 미분가능하다는 것은 x에 대해 연속이라는 것을 의미합니다 함수 u가 x에 대해 미분가능하면 극한값이 존재하고 이것은 du/dx가 됩니다 따라서 이 부분을 du/dx라고 적을 수 있습니다 이 부분을 du/dx라고 적을 수 있습니다 하지만 우리는 아직 이것을 dy/du라고 쓸 수 없습니다 이것을 dy/du라고 쓸 수 없습니다 왜냐하면 이것은 u의 변화량이 0에 가까워질 때가 아니라 x의 변화량이 0에 가까워질 때이기 때문입니다 하지만 이전 비디오에서의 결론을 다시 떠올려보면 결론을 다시 떠올려보면 어떤 한 점에서 연속인 함수 u가 있을 때 x의 변화량이 0에 가까워지면 u의 변화량도 0에 가까워집니다 따라서 이것을 따라서 이것을 x의 변화량 대신 x의 변화량 대신 u가 x에 대해 미분 가능하므로 모든 x에 대해 연속이고 결과적으로 u의 변화량이 0에 가까워진다고 쓸 수 있습니다 x의 변화량이 조금씩 작아짐에 따라 u의 변화량도 조금씩 작아지게 됩니다 u의 변화량도 조금씩 작아지게 됩니다 따라서 이것을 u의 변화량이 0에 가까워진다고 쓸 수 있고 그러면 이것이 dy/du가 됩니다 즉 u에 대한 y의 도함수 입니다 이처럼 함수 y와 u가 x에 대해 미분 가능하다 혹은 y가 u에 대한 함수이고 다시 u는 x에 대한 함수라고 가정하면 간단한 대수학과 미분가능성과 연속성에 대한 몇 가지 가정을 이용하여 x에 대한 y의 도함수가 x에 대한 y의 도함수가 u에 대한 y의 도함수와 x에 대한 u의 도함수의 곱과 같다는 사실을 알 수 있습니다 여러분 모두가 이해되었기를 바랍니다