x가 0에 가까워질 때 (1-cos(x))/x의 극한값

이번 영상에서는 x가 0에 한없이 가까워질 때 1-cos(x) / x의 극한값이 무엇인지 구해볼 겁니다 여기서 한 가지 사실을 이미 알고있다고 가정할 겁니다 우리는 x가 0에 한없이 가까워질 때 sin(x) / x의 극한값이 1이라는 사실을 안다고 가정할 겁니다 이 사실을 이 영상에서는 증명하지 않을 거지만 이 유명한 극한값을 증명하는 데 할애된 영상이 따로 하나 있습니다 샌드위치 정리를 이용해 증명하는 영상입니다 자, 이제 이 문제를 풀어 봅시다 첫 번째로 할 일은 이 식을 대수적으로 조작하는 것입니다 먼저 분모와 분자를 모두 1 + cos(x)에 곱해볼 것입니다 분모에도 같은 것을 반복합니다 1 + cos(x)를 곱해줍니다 이 식의 값을 바꾸지는 않았습니다 1에 곱하는 것과 다를 바 없으니까요 이제 어떻게 될까요? 이 식을 이제 x가 0에 한없이 가까워질 때 (1 - cos(x)) (1+ cos(x))이니까 다른 색깔로 한 번 적어볼게요 이것은 1² 혹은 1 - cos²(x)이 됩니다 이것은 1² 혹은 1 - cos²(x)이 됩니다 인수분해 공식에 따른 것이죠 분모는 다음과 같이 됩니다 x (1 + cos(x))이죠 이제 1 - cos²(x)이 무엇일까요? 이 식의 값은 피타고라스 정리를 이용해 구할 수 있습니다 따라서 sin²(x)과 같은 값을 가집니다 sin²(x)으로 고쳐 씁시다 이제 이 식을 새로 써 봅시다 x가 0에 한없이 가까워집니다 sin²(x) 대신에 sin(x) sin(x)로 써 봅시다 첫 번째 sin(x)를 가져와 분모의 여기 이 x와 같이 묶어 봅시다 따라서 sin(x) / x가 됩니다 이제 두 번째 sin(x)를 가져와 1 + cos(x)와 묶어 봅시다 묶은 두 식은 이렇게 서로 곱해지겠죠 여기서 제가 한 일은 삼각함수 정리 하나를 사용하고 대수적으로 식을 조금 조작한 것이 전부입니다 이 두 식의 곱의 극한값은 각 식의 극한값을 곱한 것과 동일할 것입니다 따라서 이것을 이렇게 다시 적어볼 수 있습니다 x가 0에 가까워질 때 sin(x) / x의 극한값에 x가 0에 가까워질 때 sin(x) / 1 +cos(x)의 극한값을 곱한 값입니다 영상 초반에 이야기했듯이 이 극한값을 알고 있다고 가정하기로 했습니다 다른 영상에서 이미 증명한 내용이니까요 x가 0에 가까워질 때 sin(x) / x의 극한값은 무엇일까요? 답은 1입니다 따라서 이 식 전체의 극한값은 여기 이 부분이 어떤 값일지에 결정되겠죠 이제 여기부터는 쉽습니다 x가 0에 가까워질 때 분자는 0에 가까워집니다 sin(0)은 0이니까요 분자는 어디에 가까워지나요? cos(0)은 1이므로 분모는 2에 가까워지네요 따라서 이 극한값은 0 / 2, 즉 0입니다 이 식의 극한값은 0이네요 1 x 0은 0입니다 끝났습니다 sin(x) / x의 극한값과 약간의 대수적 조작을 통해 우리는 처음의 극한값 x가 0에 가까워질 때 1 - cos(x) / x의 극한값이 0이라는 것을 구했습니다 그래프를 그려보시길 추천할게요 그러면 이 내용이 그래프적 관점에서도 맞아떨어진다는 것을 볼 수 있을 겁니다