국소 선형과 미분 가능성

이번 동영상에선 점에서의 국소적 선형성과 점의 미분가능성의 관계에 대해 알아보겠습니다 국소적 선형성은 어떤 점을 충분히 확대하면 비선형 함수도 그 점에서 미분가능하다면 선형으로 보인다는 것입니다 예제를 보여드리죠 y = x²이 있다고 합시다 y = x²이 있다고 합시다 y = x²이 있다고 합시다 확실히 비선형 함수입니다 하지만 점을 확대하면 충분히 확대했을 때 거의 선형으로 보입니다 (1, 1)을 확대한다고 합시다 해보죠 점 (1, 1)으로 확대 중입니다 벌써 거의 선형으로 보입니다 이 국소적 선형성은 어떤 점 주변의 함수를 어림하는 데 아주 유용합니다 어떤 점 주변의 함수를 어림하는 데 아주 유용합니다 만약 점 (1,1)에서 미분하면 만약 점 (1,1)에서 미분하면 그것으로 접선의 기울기를 구하고 접선의 방정식을 구해 함수에서 x = 1 주변 값을 어림할 수 있습니다 함수에서 x = 1 주변 값을 어림할 수 있습니다 함수에서 x = 1 주변 값을 어림할 수 있습니다 y = x²에는 필요 없을 수 있지만 y = x²에는 필요 없을 수 있지만 복잡한 함수에는 아주 도움이 될 수 있습니다 복잡한 함수에는 아주 도움이 될 수 있습니다 여기서 가져갈 요점은 점 (1, 1)에서 국소적 선형성을 볼 수 있다는 것과 그 점에서 미분이 가능하다는 뜻입니다 다른 예제에서 함수 위 점이 미분가능하지 않고 국소적 선형성도 없는 것을 확인해 봅시다 예를 들어 x의 절대값을 봅시다 x의 절대값을 봅시다 너무 겹치지 않도록 옮기겠습니다 너무 겹치지 않도록 옮기겠습니다 좋습니다 abs(x - 1)입니다 이건 이 구석에만 있지 않으면 미분가능합니다 이건 이 구석에만 있지 않으면 미분가능합니다 점 (1, 0)에만 있지 않다면요 모든 다른 x 값에서는 미분가능합니다 하지만 x = 1일 때 다른 동영상에서 왜 미분가능하지 않은지 알아보았습니다 이를 국소적 선형성을 이용해 확인할 수도 있습니다 이를 국소적 선형성을 이용해 확인할 수도 있습니다 이건 완벽히 수학적이지는 않지만 직관을 주기 위함입니다 확대를 얼마나 하더라도 계속 뾰족한 모서리가 있습니다 점 (1, 0)을 지나는 유일한 접선을 만들기 어렵겠죠 점 (1, 0)을 지나는 유일한 접선을 만들기 어렵겠죠 나머지 곡선을 지나지 않는 (1, 0)을 지나는 무한한 개수의 선을 만들 수는 있습니다 (1, 0)을 지나는 무한한 개수의 선을 만들 수는 있습니다 이 절대값 함수의 점 (1,0)처럼 뾰족한 모서리를 보면 이 절대값 함수의 점 (1,0)처럼 뾰족한 모서리를 보면 이 절대값 함수의 점 (1,0)처럼 뾰족한 모서리를 보면 미분가능하지 않다는 꽤 정확한 표시입니다 미분가능하지 않다는 꽤 정확한 표시입니다 미분가능하지 않다는 꽤 정확한 표시입니다 이제 축소해서 다른 함수를 봅시다 이 함수는 미분가능하지 않은 이유가 모서리 때문이 아니라 확대했을 때 선형으로 보이긴 하지만 수직선이 보이기 때문입니다 좋은 예는 √(4 - x²)입니다 좋은 예는 √(4 - x²)입니다 좋은 예는 √(4 - x²)입니다 좋은 예는 √(4 - x²)입니다 이건 반지름이 2인 원의 윗 부분입니다 점 (2,0)에 집중해 봅시다 이 점에서 미분가능하지 않기 때문입니다 이 점에서 미분가능하지 않기 때문입니다 충분히 확대해보면 (2, 0)에서 수직선에 가까워집니다 수직선에 가까워집니다 따라서 (2, 0)에서는 미분가능하지 않습니다 따라서 (2, 0)에서는 미분가능하지 않습니다 또한 생각해 볼 점은 절대값 함수에서는 모서리가 있는지 확대할 필요가 크게 없었습니다 확대할 필요가 크게 없었습니다 또 (2, 0)이나 (-2, 0)에서는 무언가 이상한 일이 있으니 미분가능하지 않다고 생각할 수 있습니다 히자만 대수학, 미적분학에서 잘 보지 않는 함수 중에 히자만 대수학, 미적분학에서 잘 보지 않는 함수 중에 확대하지 않았을 땐 모서리 처럼 보이지만 확대하지 않았을 땐 모서리 처럼 보이지만 확대하면 국소적 선형성을 확인할 수 있는 경우가 있습니다 그리고 그 점에서 미분가능하기도 하고요 좋은 예는 이걸 좀 지워서 많이 확대해 봅시다 y는 아주 큰 지수를 만들어서 x^10이라 하겠습니다 여기가 약간 모서리같네요 100까지 가보겠습니다 이제 더 모서리 같아졌습니다 1000의 제곱까지 가보겠습니다 이정도에서는 (1, 0)에 모서리가 있는 것 같아보입니다 (1, 0)에 모서리가 있는 것 같아보입니다 이 곡선은 사실 (1, 0)을 지나지 않습니다 이 곡선은 사실 (1, 0)을 지나지 않습니다 만약 x가 1이면 y는 1입니다 확대하다 보면 뾰족한 모서리 같은 것이 부드러워질 것입니다 그래야 합니다 이 함수는 모든 x에서 미분가능하기 때문입니다 평소에 보는 것보다는 생소하지만 평소에 보는 것보다는 생소하지만 확대하면 볼 수 있습니다 꽤 뾰족한 모서리를 확대해 봅시다 꽤 뾰족한 모서리를 확대해 봅시다 충분히 확대하면 뾰족해 보였던 곳도 뾰족해 보였던 곳도 부드러워지면서 곡선이 됩니다 부드러워지면서 곡선이 됩니다 충분히 확대하면 선처럼 보입니다 축소해서 보았을 땐 믿기 힘들었죠 지금 멀리서 보았을 때 모서리 같았던 곳을 확대중입니다 지금 멀리서 보았을 때 모서리 같았던 곳을 확대중입니다 하지만 확대하면서 국소적 선형성을 확인할 수 있고 수직선도 아닙니다 미분가능하다는 것은 이 곡선 어디에서나 사실입니다 미분가능하다는 것은 이 곡선 어디에서나 사실입니다 여기서의 요점은 가끔 많이 확대해야 할 때가 있는데 제가 지금 사용하는 Desmos 같은 도구가 그럴때 유용합니다 이건 완벽히 수학적이진 않지만 직관적으로 충분히 확대했을 때 직관적으로 충분히 확대했을 때 곡선이 선처럼 보이면 곡선이 선처럼 보이면 미분가능할 가능성이 높다는 것을 보여줍니다 계속 확대해서 뾰족한 모서리 같거나 확대했는데 접선이 수직선이면 조금 더 생각해 보아야 합니다