극한식을 통한 도함수 예제

a에서 f ' 즉 f 함수의 도함수는 이런 형태입니다 이것은 조금 어색할 수 있습니다 하지만 그 의미를 살펴보면 그냥 f 함수에서 접선의 기울기를 구하는 것과 같습니다 임의의 함수를 봅시다 이것을 함수 f 라고 하겠습니다 여기가 x 축에서 a라고 하면 여기가 x 축에서 a라고 하면 이 점이 f(a) 라는 것을 알 수 있습니다 (a, f(a)) 저 점과 임의의 점 x 사이의 기울기를 구해봅시다 이 점의 좌표는 （x, f(x)）입니다 이 분자에 있는 것은 함숫값의 변화입니다 수직상의 변화라고 봐도 무방합니다 이 간격을 말합니다 그것이 여기서 분자가 뜻하는 바입니다 분모에서는 수평축 상의 변화를 다루고 있습니다 수평축 상의 변화를 다루고 있습니다 다른 색깔로 하겠습니다 수평축 상의 변화는 여기있습니다 그리고 x가 a 로 갈때의 극한 값을 찾아야 합니다 x가 a로 가까워지면서 x가 여기있을 때 선을 얻을 수 있습니다 우리는 이 선의 기울기를 찾아야 합니다 그런데 x가 점점 가까워지면 선의 기울기는 접선의 기울기가 됩니다 x가 a가 되진 않지만 a에 가까워지면 이것은 도함수의 정의가 됩니다 도함수의 또 다른 정의라고 볼 수 있습니다 접선이 존재한다면 그 선의 기울기가 됩니다 우선 다 제쳐두고 문제를 풀어보도록 합시다 도함수의 정의를 이용해서 저 식이 말이 되도록 함수 f 를 정의하고 a의 값을 정해야 합니다 여기서 x＝5일 때 접선의 기울기를 구해야 합니다 이 식은 x＝a일 때 접선의 기울기를 구하는 것입니다 a＝5 임은 거의 확실합니다 그리고 f(5)＝125 일 것입니다 f(x)는 무엇일까요? 여기서 이것은 f(x)－f(a) 입니다 여기서는 x³ －125 입니다 이것은 말이 됩니다 f(x)가 x³ 이면 f(5)＝5³ ＝125 입니다 f(5)＝5³ ＝125 입니다 그리고 x가 a로 갈 때의 극한값을 보면 여기서는 x가 5로 갈 때의 극한값을 구해봅시다 그러니까 이건 f(x)＝x³ 의 도함수입니다 초록색으로 적겠습니다 a＝5 일 때 x가 a 즉 5로 갑니다 생각해봅시다 그래프를 그리면 더 쉬울 것 같습니다 여기서 그리면 더 보기 쉬울 것 같습니다 이것이 y축입니다 이것이 x 축입니다 간격이 좀 이상할 수 있습니다 여기가 125입니다 y＝125 가 되는 것입니다 x＝5입니다 x축 간격과 y축 간격이 다릅니다 그래도 함수는 대략적으로 이렇게 생겼을 것입니다 y=x³ 그래프는 이렇게 생겼습니다 a＝5입니다 여기는 (5, 125)입니다 우리는 저 점과 곡선 위의 임의의 점 사이의 기울기를 구해야 합니다 여기는 (x, x³) 입니다 f(x) ＝x³ 이 됩니다 f(x) ＝x³ 이 됩니다 이 그래프는 y=x³ 입니다 이 식은 두 점 사이의 기울기를 나타냅니다 x가 5로 갈 때의 극한을 구해보면 즉 x가 5에 가까워지면 x＝5에서의 접선의 기울기와 비슷해집니다 접선은 대충 이렇게 생겼을 것입니다