도함수의 엄밀한 정의와 다른 형태의 정의

여기 이 곡선에 대한 접선의 기울기를 구하는 방법에 대해 알아 봅시다 붉은 색으로 그려진 부분에서 x는 a와 같습니다 도함수의 정의를 공부하면서 이미 본 적이 있는 내용입니다 곡선의 어느 지점에서나 접선의 기울기를 나타낼 수 있는 함수를 구해 보려고 합니다 임의의 점을 하나 그려 봅시다 여기 임의의 점 x를 하나 그립니다 그러면 이 점은 (x, f(x))로 나타낼 수 있습니다 그리고 다시 x+h를 하나 그립니다 여기 점을 하나 그리고 x+h라고 합시다 그러면 이 점은 (x+h, f(x+h))로 나타낼 수 있습니다 여러분은 이 두 점을 지나는 할선의 기울기를 구할 수 있습니다 수직값의 변화를 나타내는 f(x+h)-f(x)를 수평값의 변화를 나타내는 x+h-x로 나눕니다 이렇게 하면 이 두 개의 x는 서로 상쇄되고 할선의 기울기를 나타낼 수 있습니다 그리고 점 x에서의 접선의 기울기를 알아 보려면 이 수식에서 h가 0에 가까워질 때의 극한을 구하면 됩니다 h가 0 에 가까워지면 이 점은 x 쪽으로 이동합니다 그리고 이 두 점을 지나는 할선의 기울기는 점 x에서의 접선의 기울기에 근접하게 됩니다 그리고 여기 이 식이 f'(x)와 같다고 합시다 여전히 x에 대한 함수입니다 도함수가 정의된 임의의 점 x가 주어지면 이 식에 대입해서 결과를 알 수 있습니다 아주 깔끔한 대수식에 의해서 답을 구할 수 있습니다 예를 들어서 이 식을 계산해서 값을 구할 수도 있고 이 식을 그대로 둔 상태에서 만일 f'(a)를 구하고자 한다면 함수의 정의에 a를 대입하면 됩니다 그러면 이렇게 될 겁니다 h가 0에 가까워질 때의 극한 모든 x의 자리에 a를 대입합니다 우선은 x의 자리를 비워 두고 f(공란+h)-f(공란)을 모두 h로 나눕니다 이제 비워둔 자리에 붉은 글씨로 a를 넣습니다 잘 보시면 x가 있던 모든 자리에 a를 대입했습니다 이것이 a 지점에서의 도함수입니다 x=a 일때 접선의 기울기를 구하는 첫 번째 방법을 알아 보았습니다 두 번째 방법은 보다 직접적인 방식으로 도함수를 대신해서 자주 쓰이는 방법입니다 여기 점 (a, f(a))가 있습니다 임의의 점을 하나 더 그려 봅시다 이 값을 x라고 하면 함수 위의 이 점은 (x, f(x))로 나타낼 수 있습니다 그러면 이 두 점을 지나는 할선의 기울기는 얼마가 될까요? 수직값의 변화 f(x)-f(a)를 수평값의 변화인 x-a로 나누면 됩니다 보라색으로 표시하겠습니다 x-a로 나누면 됩니다 이제 이 접선에 대해 최대한 근접한 근삿값을 구하려면 어떻게 해야 할까요? x가 a에 가까워질 때의 극한을 구하면 됩니다 x가 a에 점점 더 가까워 질수록 할선의 기울기 역시 점점 더 여기 붉은 색으로 표시한 접선의 기울기에 가까워집니다 그래서 x가 a에 가까워질 때의 극한을 구하면 되는 겁니다 어느 방법이든 내용은 같습니다 할선의 기울기를 구하는 식에서 각 지점의 x 값을 점점 더 가깝게 이동시키면 할선의 기울기가 점점 더 접선의 기울기에 근접해 가다가 결국 극한에서는 접선의 기울기와 같아집니다 이것이 도함수의 정의입니다 이것이 도함수를 정의하는 일반적인 방법입니다 x에 대한 함수의 형태로 도함수를 정의하고 x에 특정한 값을 대입하는 방법입니다 도함수의 다른 형태를 이용할 수도 있는데 특정한 점 a에서의 정확한 도함수를 구해야 하지만 f에 대한 함수로 일반화할 필요는 없을 때 이 방법을 사용합니다 둘 다 결과는 같습니다