지수식 세우기: 반감기

탄소-14는 5730년마다 원래 질량의 절반으로 줄어드는 원소입니다 탄소-14의 질량을 시간 t (단위: 년)에 대한 함수 M이라고 할 때 시간 t (단위: 년)에 대한 함수 M이라고 합시다 탄소-14의 초기 질량이 741g이라고 할 때 탄소-14의 질량 M을 초기 질량을 잰 후 흐른 시간 t에 대한 함수로 나타내어 봅시다 잠시 비디오를 멈추고 초기 시작점으로부터 t년이 흘렀다 할 때 t에 대한 함수인 M에 대해 잠시 생각해보도록 합시다 같이 문제를 풀어봅시다 문제를 해결하기 위해서 문제 상황을 표로 나타내어 봅시다 t를 초기 질량 측정으로 부터 흐른 년도를 표시한다고 하고 이 때 질량이 어떻게 될지를 봅시다 탄소-14의 초기 질량이 741g이라는 것인 이미 주어진 조건입니다 t=0이면 질량은 741g입니다 t에 대해서 고려해야 할 점은 무엇이 있을까요? 주어진 조건을 통해 5730년마다 탄소-14는 원래 질량의 절반만큼 줄어든다는 사실을 알 수 있습니다 t=5730일때에 대해서 생각해봅시다 질량은 절반으로 줄어들게 되므로 초기 질량에 절반만큼 곱해보겠습니다 그 값은 (741/2) 입니다 계산은 지금 하지는 않겠습니다 이번에는 5730년이 또 다시 흘렀을 때 질량이 어떻게 될 지 봅시다 시간은 5730×2 년이 될 것이고 계산을 해보면 계산을 해보면 11460년이 됩니다 그냥 단순히 5730×2년이라고 생각합시다 다시 계산해보면....... 11460년 맞습니다 그냥 계산 값이 아닌 저런 형태로 놔두겠습니다 질량은 741×(1/2)의 절반이 됩니다 741×(1/2)×(1/2)가 되는 것입니다 5730년에서의 질량의 절반은 741×(1/2)^2로 표현할 수 있습니다 이번에는 또 다시 5730년이 더 흘렀다고 하면 즉 t가 5730의 3배가 될 때 질량은 직전에 언급된 값의 절반이 됩니다 741에 (1/2)^3이 곱해지게 됩니다 이쯤되면 패턴이 대강 보일 것입니다 반감기가 한 번 지날 때마다 지수항에 (1/2)를 한 번 더 곱하고 초기 질량에 곱하게 됩니다 표시하고 있는 부분은 반감기가 한번 지났을 때이고, 반감기 2번이면 곱해지는 지수가 2이고 반감기 3번이면 곱해지는 지수는 3입니다 반감기 3번이면 곱해지는 지수는 3입니다 M을 t로 나타내는 일반적인 방법은 무엇일까요? t에 대한 함수 M은 초기값이 741이고 이 함수는 지수함수라고 볼 수 있습니다 여기에 반감기가 지난 횟수만큼 '공비'라고 부르는 수를 곱합니다 '공비'라고 부르는 수를 곱합니다 여기서 지난 반감기의 횟수를 어떻게 알 수 있을까요? t를 반감기로 나누면 됩니다 t를 반감기로 나누면 됩니다 이 식을 계산 결과를 통해 적용해봅시다 t=0이면 지수항은 (1/2)^0 이 되는데 이는 1이고, 함숫값은 741이 됩니다 t=5730이면 지수항의 지수는 1이 되고 함숫값은 초기값의 절반이 됩니다 t가 5730의 2배일 때는 t가 5730의 2배일 때는 지수항의 지수는 2가 되고 초기값에 (1/2)를 두 번 곱하게 됩니다 지수항은 (1/2)^2가 되는 것입니다 이 식은 t가 반감기의 정수배인 경우 이 식은 t가 반감기의 정수배인 경우 혹은 지수가 정수가 아닌 경우에도 모두 적용할 수 있습니다 이것이 우리가 구한 함수입니다 다시 정리하자면 다시 정리하자면 우리가 구한 함수 M은 초기 시작점으로부터 t년의 시간이 흘렀을 때 남은 질량을 의미하는 함수입니다