모든 형태로 일차방정식 나타내기

한 직선이 두 점 (−3,6)과 (6,0)을 지날 때, 이 직선의 방정식을 점과 기울기, 기울기와 절편(표준형), 그리고 일반형으로 표현 해 봅시다 이 세가지는 같은 함수를 단지 다른 형태로 바꾼 것입니다. 따라서 이 중 하나를 구할 수 있다면, 나머지도 구할 수 있게 됩니다 먼저 세 식의 형태를 알아보자면, 점-기울기 형은 점 (x₁,y₁)이 이 직선 위에 있다고 가정 해 봅시다 기호 아래에 작은 숫자가 적혀 있는데, 만약 x만 써 있다면 x가 어떤 수도 될 수 있다는 뜻이지만, x아래에 작게 1을 쓰고, y아래에도 작게 1을 쓰면 특정한 x값과 특정한 y값, 즉 하나의 좌표를 나타냅니다. 나중에 예를 들어 설명 할 텐데요, 점과 기울기로 나타낼 때는 직선 위의 한 점의 좌표와 직선의 기울기를 알고 있을 때, 그 직선을 점-기울기 형으로 표현하면 y−y₁=m(x−x₁)모양의 식이 됩니다 이 비디오에 주어진 값으로 예를 들면, 점 (−3,6)이 직선 위에 있을 때 y−6=m(x−(−3))이고 x−3은 x+3이 됩니다 이처럼 이 점은 특정한 x좌표와 y좌표를 갖게 되고, 그 값이 −3과 6입니다 이것이 점과 기울기로 나타낸 형태입니다 기울기-절편 형(표준형)의 모양은 y=mx+b이고 여기서 m은 기울기, b는 y절편을 나타내는데, y절편은 한 직선이 y축과 만나는 점, 즉 x좌표가 0일때의 y좌표를 뜻합니다 일반형은 Ax+By=C형태이고 A와 B는 단지 각각의 수를 나타냅니다 A,B 모두 그래프 위에서 어떤 특정한 의미를 나타내지는 않습니다 그럼 이제 이 모든 식을 구해 봅시다 가장 먼저 해야 할 것은 기울기를 구하는 것입니다 기울기를 구하게 된다면 점-기울기 형은 매우 쉽게 구할 수 있습니다 배운 내용을 기억 해 보면, 기울기, 즉 m은 y좌표의 변화량에 대한 x좌표의 변화량을 나타냅니다 그렇다면 y좌표는 얼마나 변할까요? 이 점(6,0)을 끝으로 놓고, (−3,6)에서 (6,0)까지 점이 이동한다면 y좌표는 얼마나 변할까요? 끝점에서 y좌표는 0이고 시작점에서는 y좌표는 6입니다 정리하면 끝점에서 y좌표는 0, 시작점에서 y좌표는 6입니다 끝점의 x좌표, 즉 x절편은 얼마인가요? 끝점의 x절편은 6입니다 헷갈리지 않게 다시 정리해보면 끝점의 y좌표는 바로 이 0이고, 시작점의 y좌표는 바로 여기에 있는 6입니다 끝점의 x좌표도 6이고 이 6에서 시작점의 x좌표를 위처럼 빼면 됩니다 시작점의 x좌표는 바로 여기, −3입니다 정리하면, 시작점의 −3은 방금 쓴 바로 이 값입니다 정리하면, 시작점에서 끝점으로 갈 때 y값은 6만큼 줄었습니다 6에서 0으로 갔으니까 y값이 6만큼 작아졌죠 그리고 0에서 6을 빼면 −6이됩니다 간단하죠 y는 6만큼 줄어들었으니까요 그리고, (−3,6)에서 (6,0)으로 갈때, x좌표엔 어떤 변화가 있을까요? −3에서 6, 즉 9가 늘어났습니다 계산하면, 6−(−3)은 6+3과 같으므로 9가 됩니다 −6/9는 무엇이 될까요? 약분을 하면 −2/3이 됩니다 분모와 분자를 3으로 나눈것이죠 이 −2/3이 바로 직선의 기울기입니다 이제 점-기울기 형(표준형)의 함수를 쉽게 구할 수 있습니다 이 중에서 점을 한개 정해봅시다 (-3,6)을 고르고 이미 구한 기울기를 점-기울기 형에 대입 해 봅시다 이제 계산만 하면되는데, y−에서 두 점중 하나를 골라서, (-3.6)을 고른다고 하면 분모의 y에서 그 점의 y좌표를 뺍니다 y-6 = (기울기 -2/3) × (x−x좌표) 과 같다고 식을 세웁니다 x−x좌표에서 x좌표는 −3이므로 x−(−3), 끝났습니다 식을 조금 간단히 해봅시다 y−6 = −2/3 × ... x−(−3)은 x+3과 같으므로 바꿔주면, 이것이 점-기울기 형 입니다 이제 이 식을 계산해서 정리하기만 하면 표준형으로 바꿀 수 있습니다 해 봅시다 표준형을 주황색으로 쓰겠습니다 이 식을 어떻게 간단히 할까요? 우선 −2/3을 괄호안에 각각 곱해봅시다 −2/3을 분배해서 곱하면 -2x/3과 -2/3 × 3 즉 −2가 되죠 여기서 표준형을 만들기 위해 왼쪽의 식을 간단히 해야 하는데 그러기 위해 양변에 6을 더해줍니다 그럼 왼쪽의 식은 y만 남고 6이 없어지죠 y= −2x/3 − 2 라는 식에서 우변의 −2에 6을 더하면 4가 되죠 이게 바로 표준형입니다 위의 mx+b에서 b가 y절편이 됩니다 이제 마지막으로 할 것은 일반형으로 바꾸는 것입니다 다시 한번 식을 변형하면 되는데, x와 y가 같은 쪽에 있도록 하면 됩니다 우선 2x/3를 양변에 더해봅시다 아까 구한 표준형 식, y= −2/3x + 4에서 2x/3를 양변에 더합니다 이 과정은 우변의 −2x/3를 없애기 위해 하는 것입니다 따라서 이 방정식의 좌변은 무엇이 될까요? 좌변은 2x/3 + y가 되는데, 이 식은 -2/3 + 2/3이 사라지면서 4와 같게 되고 결국 함수의 일반형이 됩니다 만약 좀 더 깔끔하게 보이고 싶다면 분수를 없애기 위해 양변에 3을 곱하면 됩니다 3을 곱하면 어떻게 되나요? 2x/3 × 3=2x, y×3=3y, 4×3=12가 됩니다 이 둘은 같은 방정식이며, 단지 3을 양변에 곱했을 뿐입니다 좌변에 3을 곱했다면 반드시 우변에도 똑같이 3을 곱해야 합니다 이렇게 일반형이 완성되었습니다