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이차식을 인수분해 하여 (x+a)(x+b)의 꼴로 나타내기

동영상 대본

다음과 같은 이차방정식이 있습니다 x² - 3x -10 이번 수업에서는 두 개의 이항식의 곱으로 나타내려고 합니다 즉, (x+a)와 (x+b)의 곱으로 표현하려고 합니다 이렇게 표현하기 위해서는 a와 b가 무엇인지 알아야 합니다 동영상을 멈추고 직접 a와 b가 무엇인지 직접 풀어보시길 바랍니다 곱으로 바꿀 수 있나요? 알맞은 a와 b로 표현된 이항식 2개로 말이죠 이제 같이 풀어보도록 하겠습니다 a와 b를 다른 색깔로 표현하겠습니다 이 둘을 곱한다고 생각해 보세요 a와 b를 이용한 이항식 2개를 이전 동영상에서도 해 보았죠? 익숙하지 않다면 이전 동영상을 복습해 보세요 다시 돌아가서 이 둘을 곱하면 우변에 있는 2개는 무엇과 같냐면 x 곱하기 x인 x²이 됩니다 a 곱하기 x는 ax가 되고 b 곱하기 x는 bx가 됩니다 이 과정을 생략하고 싶지만 이번에는제대로 풀어보겠습니다 복습한다고 생각하세요 x 곱하기 x는 x²으로 a 곱하기 x는 ax로 x 곱하기 b 각 항을 다른 항들과 곱합니다 x 곱하기 b는 bx가 됩니다 즉, 더하기 b x가 되고 a 곱하기 b는 ab가 됩니다 이제 정리해 보도록 하겠습니다 이 과정을 넘어가셔도 됩니다 이항식의 곱을 잘 알고 계시다면 x² 더하기 2개의 x의 계수를 더할 수 있습니다 모두 x의 1차항이기 때문에 x가 곱해진 ax에 bx를 더하면 (a+b)x가 됩니다 그것을 적어보겠습니다 (a+b)x 파란색으로 표시하겠습니다 더하기 ab 이제 이 식을 사용하도록 하겠습니다 a와 b를 구하기 위해 좌변과 우변을 비교해 보면 좌변에 x²이 있고 우변에도 x²이 있습니다 좌변의 x의 일차항으로 -3x가 있는데 우변에는 (a+b)x가 있습니다 이렇게 볼 수도 있겠네요 (a+b)가 -3과 같아야 하므로 계수들을 비교해서 써 보겠습니다 (a+b)가 -3과 같아야 되죠 아직 a와 b를 구하지 못했습니다 우변의 상수항에 있는 ab는 좌변에 있는 -10과 같아야 합니다 이 관계를 써 보겠습니다 ab가 -10과 같아야 합니다 일반적으로 인수분해 할 때마다 2차항의 계수가 1인 2차식을 즉 x²의 계수는 1이고 1을 특별히 표시할 필요는 없습니다 그냥 x²이라고 쓰고 2개의 숫자로 일차항의 계수끼리 합한 값은 -3이 됩니다 이 두 수를 곱하면 -10이 되어야 하고요 두 수를 더해서 -3이 1차항의 계수가 되어야 합니다 두 수를 곱하면 상수항이 되어야 합니다 즉 -10이 되어야 합니다 그렇다면 어떤 수가 가능할까요? 두 수를 곱해서 음수가 되려면 그 두 수는 부호가 달라야 합니다 어떤 방식으로 할 수 있을지 한 번 생각해 봅시다 두 수를 더해서 음수가 되려면 두 수 중 음수가 더 커야 합니다 10을 소인수분해하면 1x10도 되고 2x5도 됩니다 2x5의 경우 이 중 하나가 음수라면 두 개의 차는 3이 됩니다 만약 하나가 음수라면 -10을 가지고 얘기해 볼 때 -2 x 5라고 생각할 수 있습니다 이 둘을 곱하면 -10이 됩니다 하지만 이 두 수를 더하게 되면 3이 됩니다 만약 5가 음수인 경우 2x(-5)가 되면 이 두 수의 곱은 -10이 되지만 이 두 수를 더하면 -3이 됩니다 이렇게 해서 원하는 두 수를 찾았습니다 여기서 a가 2이거나 b가 2라고 할 수 있습니다 a가 2라고 편의상 가정하면 b는 -5가 됩니다 따라서 원래의 식을 다시 쓸 수 있습니다 x² -3x -10을 (x+2) x (x+-5) 와 같다고 쓸 수 있습니다 (x+-5)는 + 기호를 없애고 다시 쓰면 (x-5)라고도 쓸 수 있습니다 b가 -5이기 때문에 x-5라 쓸 수 있습니다 이로써 2개의 이항식의 곱으로 인수분해하였습니다 거의 대부분의 과정을 빠짐없이 썼기 때문에 어떻게 얻어낸 결과인지 알 수 있을 겁니다 앞으로는 이차식을 보았을 때 계수가 1인 경우라면 두 수를 찾을 수 있습니다 계수끼리의 합이 x의 1차항 계수가 되고 두 수를 곱하면 상수항이 되는 두 수 말입니다 이 문제에서는 -10이 되어야 합니다 그렇다면 두 수는 다른 부호를 가집니다 두 수를 곱했을 때 음수이기 때문에 음수 값의 크기가 양수 값의 크기 보다 커야 합니다 두 수를 더했을 때 음수가 되기 위해서는 5와 2의 경우 -5와 2 두 수를 더하면 -3이 되고 두 수를 곱하면 -10이 됩니다