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대수학 1

코스: 대수학 1 > 단원 13

단원 5: 이차식의 인수분해란?
수학
대수학 1
이차식: 곱셈 & 인수분해
이차식의 인수분해란?
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이차식의 인수분해: 최고차항의 계수 = 1

구글 클래스룸
 x²+5x+6=(x+2)(x+3) 으로 나타내는 것처럼 이차식을 두 개의 일차식의 곱으로 나타내는 방법에 대해 배워 봅시다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것들

다항식을 인수분해하면 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 이는 다항식의 곱셈 과정을 역으로 적용해주는 것입니다. 이에 대해 더 알아보고 싶다면 공통인수로 다항식 인수분해하기를 확인해 보세요.

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는 x2+bx+c 꼴의 다항식을 인수분해해서 두 개의 이항식의 곱으로 나타내는 방법을 배울 것입니다.

복습하기: 이항식의 곱셈

(x+2)(x+4) 가 있습니다.
분배법칙을 여러 번 적용해서 곱셈을 할 수 있습니다.
따라서 (x+2)(x+4)=x2+6x+8 입니다.
x2+6x+8 의 인수는 x+2 와 x+4 입니다. 하지만, 처음부터 인수의 곱셈으로 시작하지 않았다면 인수를 어떻게 찾을 수 있을까요?

삼항식의 인수분해

위에서 살펴본 이항식의 곱셈 과정을 역으로 적용해서 삼항식(항이 3개인 다항식)을 인수분해할 수 있습니다.
다시 말해, 다항식 x2+6x+8 을 (x+2)(x+4) 와 같이 두 개의 이항식의 곱으로 나타낼 수 있습니다.
연습문제를 몇 개 풀어 봅시다.

연습문제 1: x2+5x+6 인수분해하기

x2+5x+6 을 인수분해하기 위해서, 먼저 곱하면 상수인 6이 되고 더하면 x의 계수인 5가 되는 두 수를 찾아야 합니다.
2⋅3=6 과 2+3=5 이므로, 두 수는 2와 3입니다.
각 수를 x에 더하여 (x+2) 와 (x+3) 과 같이 두 개의 이항식 인수를 만들 수 있습니다.
따라서, 삼항식을 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다:
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
인수분해가 잘 되었는지 확인하기 위해 두 이항식을 곱해 봅시다:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6
x+2 와 x+3 의 곱은 x2+5x+6 입니다. 인수분해가 올바르게 되었습니다.

이해했는지 확인하기

1) x2+7x+10 을 인수분해하세요.
정답을 한 개 고르세요:

1) x2+9x+20 을 인수분해하세요.

연습문제를 더 풀어 봅시다.

연습문제 2: x2−5x+6 인수분해하기

x2−5x+6 을 인수분해하기 위해서, 먼저 곱하면 6이 되고 더하면 −5가 되는 두 수를 찾아야 합니다.
(−2)⋅(−3)=6 과 (−2)+(−3)=−5 이므로 두 수는 −2와 −3입니다.
각 수를 x에 더하여 (x+(−2))와 (x+(−3))과 같이 두 개의 이차항 인수를 만들 수 있습니다.
인수분해를 하면 다음과 같습니다:
x2−5x+6=(x+(−2))(x+(−3))=(x−2)(x−3)
인수분해 규칙: x2−5x+6 을 인수분해하기 위해 필요한 수는 −2와 −3입니다. 두 수의 곱은 양수인 (6)이 되어야 하며, 합은 음수인 (−5)가 되어야 하기 때문입니다.
보통 x2+bx+c 를 인수분해할 때 b 는 음수이고 c 가 양수이면, 두 인수는 모두 음수일 것입니다.

연습문제 3: x2−x−6 인수분해하기

x2−x−6 은 x2−1x−6 과 같이 나타낼 수 있습니다.
x2−1x−6 을 인수분해하기 위해서, 먼저 곱하면 −6 이 되고 더하면 −1 이 되는 두 수를 찾아야 합니다.
(2)⋅(−3)=−6 과 2+(−3)=−1 이므로, 두 수는 2와 −3입니다.
각 수를 x에 더하여 (x+2) 와 (x+(−3)) 과 같은 두 개의 이차항 인수를 만들 수 있습니다.
인수분해를 하면 다음과 같습니다:
x2−x−6=(x+2)(x+(−3))=(x+2)(x−3)
인수분해 규칙: x2−x−6 을 인수분해하기 위해 필요한 수는 양수 (2)와 음수 (−3)입니다. 두 수의 곱이 음수 (−6)이 되어야 하기 때문입니다.
보통 x2+bx+c 를 인수분해할 때 c 가 음수이면, 두 인수는 각각 양수와 음수일 것입니다.

요약

보통 x2+bx+c 꼴인 삼항식을 인수분해하려면, 합이 b가 되는 c의 인수들을 찾아야 합니다.
c=mn 과 b=m+n 의 조건을 만족하는 두 수 m과 n이 두 수에 해당된다고 가정하면, x2+bx+c=(x+m)(x+n) 입니다.

이해했는지 확인하기

3) x2−8x−9 를 인수분해하세요.

4) x2−10x+24 를 인수분해하세요.

5) x2+7x−30 을 인수분해하세요.

왜 이렇게 될까요?

위의 인수분해 방법을 적용할 수 있었던 이유를 알아보기 위해, x2+5x+6 을 (x+2)(x+3) 으로 인수분해했던 기존 연습문제로 돌아가 봅시다.
돌아가서 두 개의 이항식 인수를 곱하면 2와 3이 수식 x2+5x+6 에 어떤 영향을 미치는지 확인할 수 있습니다.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+2⋅3=x2+(2+3)x+2⋅3
x항의 계수는 2와 3의 합이며, 상수항은 2와 3의 곱입니다.

합과 곱을 이용한 x2의 계수가 1인 이차식의 인수분해

(x+2)(x+3) 에 적용했던 것을 (x+m)(x+n) 에도 적용해 봅시다.
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+m⋅n=x2+(m+n)x+m⋅n
이 과정을 요약하면 다음과 같습니다:
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+m⋅n
이것을 합과 곱을 이용한 x2의 계수가 1인 이차식의 인수분해라고 합니다.
삼항식 x2+bx+c를 x2+(m+n)x+m⋅n 꼴로 표현했을 때 m과 n이 b=m+n 와 c=m⋅n 을 만족한다면, 이 삼항식을 (x+m)(x+n) 으로 인수분해할 수 있습니다.

복습문제

6) 2x2+3x+1 을 인수분해하기 위해 위와 같은 방법을 사용할 수 있을까요?
정답을 한 개 고르세요:

위의 방법은 어떤 경우에 이용할 수 있을까요?

일반적으로 합과 곱을 이용한 x2의 계수가 1인 이차식의 인수분해 방법은 임의의 정수 m과 n에 대해 삼항식이 (x+m)(x+n) 의 꼴로 표현될 때에만 이용할 수 있습니다.
합과 곱을 이용한 인수분해 방법을 이용하려면 삼항식의 최고차항이 반드시 계수가 1인 x2이 되어야 합니다. (x+m) 과 (x+n) 의 곱은 항상 최고차항이 x2인 다항식이 되기 때문입니다.
그러나, 최고차항이 x2인 모든 종류의 삼항식이 인수분해되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 합이 2이고 곱이 2일 때는 두 개의 정수를 정할 수 없으므로 x2+2x+2 는 인수분해할 수 없습니다.
앞으로 다양한 다항식을 인수분해하는 여러 가지 방법을 익혀 보겠습니다.

심화문제

7*) x2+5xy+6y2 을 인수분해하세요.

8*) x4−5x2+6 을 인수분해하세요.

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