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대수학 1

코스: 대수학 1 > 단원 13

단원 5: 이차식의 인수분해란?
수학
대수학 1
이차식: 곱셈 & 인수분해
이차식의 인수분해란?
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이차식의 인수분해: 최고차항의 계수 = 1

구글 클래스룸
 x²+5x+6=(x+2)(x+3) 으로 나타내는 것처럼 이차식을 두 개의 일차식의 곱으로 나타내는 방법에 대해 배워 봅시다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것들

다항식을 인수분해하면 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 이는 다항식의 곱셈 과정을 역으로 적용해주는 것입니다. 이에 대해 더 알아보고 싶다면 공통인수로 다항식 인수분해하기를 확인해 보세요.

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는 x, squared, plus, b, x, plus, c 꼴의 다항식을 인수분해해서 두 개의 이항식의 곱으로 나타내는 방법을 배울 것입니다.

복습하기: 이항식의 곱셈

left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis 가 있습니다.
분배법칙을 여러 번 적용해서 곱셈을 할 수 있습니다.
따라서 left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, plus, 8 입니다.
x, squared, plus, 6, x, plus, 8 의 인수는 x, plus, 2 와 x, plus, 4 입니다. 하지만, 처음부터 인수의 곱셈으로 시작하지 않았다면 인수를 어떻게 찾을 수 있을까요?

삼항식의 인수분해

위에서 살펴본 이항식의 곱셈 과정을 역으로 적용해서 삼항식(항이 3개인 다항식)을 인수분해할 수 있습니다.
다시 말해, 다항식 x, squared, plus, 6, x, plus, 8 을 left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis 와 같이 두 개의 이항식의 곱으로 나타낼 수 있습니다.
연습문제를 몇 개 풀어 봅시다.

연습문제 1: x, squared, plus, 5, x, plus, 6 인수분해하기

x, squared, plus, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff 을 인수분해하기 위해서, 먼저 곱하면 상수인 start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff이 되고 더하면 x의 계수인 start color #e07d10, 5, end color #e07d10가 되는 두 수를 찾아야 합니다.
start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 6 과 start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 5 이므로, 두 수는 start color #11accd, 2, end color #11accd와 start color #1fab54, 3, end color #1fab54입니다.
각 수를 x에 더하여 left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis 와 left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis 과 같이 두 개의 이항식 인수를 만들 수 있습니다.
따라서, 삼항식을 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다:
x, squared, plus, 5, x, plus, 6, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis
인수분해가 잘 되었는지 확인하기 위해 두 이항식을 곱해 봅시다:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)(x)+(x+2)(3)\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}
x, plus, 2 와 x, plus, 3 의 곱은 x, squared, plus, 5, x, plus, 6 입니다. 인수분해가 올바르게 되었습니다.

이해했는지 확인하기

1) x, squared, plus, 7, x, plus, 10 을 인수분해하세요.
정답을 한 개 고르세요:

1) x, squared, plus, 9, x, plus, 20 을 인수분해하세요.

연습문제를 더 풀어 봅시다.

연습문제 2: x, squared, minus, 5, x, plus, 6 인수분해하기

x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff 을 인수분해하기 위해서, 먼저 곱하면 start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff이 되고 더하면 start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10가 되는 두 수를 찾아야 합니다.
left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 6 과 left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 5 이므로 두 수는 start color #11accd, minus, 2, end color #11accd와 start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54입니다.
각 수를 x에 더하여 left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, right parenthesis와 left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis과 같이 두 개의 이차항 인수를 만들 수 있습니다.
인수분해를 하면 다음과 같습니다:
x2−5x+6=(x+(−2))(x+(−3))=(x−2)(x−3)\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}
인수분해 규칙: x, squared, minus, 5, x, plus, 6 을 인수분해하기 위해 필요한 수는 minus, 2와 minus, 3입니다. 두 수의 곱은 양수인 left parenthesis, 6, right parenthesis이 되어야 하며, 합은 음수인 left parenthesis, minus, 5, right parenthesis가 되어야 하기 때문입니다.
보통 x, squared, plus, b, x, plus, c 를 인수분해할 때 b 는 음수이고 c 가 양수이면, 두 인수는 모두 음수일 것입니다.

연습문제 3: x, squared, minus, x, minus, 6 인수분해하기

x, squared, minus, x, minus, 6 은 x, squared, minus, 1, x, minus, 6 과 같이 나타낼 수 있습니다.
x, squared, start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff 을 인수분해하기 위해서, 먼저 곱하면 start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff 이 되고 더하면 start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10 이 되는 두 수를 찾아야 합니다.
left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 6 과 start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 1 이므로, 두 수는 start color #11accd, 2, end color #11accd와 start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54입니다.
각 수를 x에 더하여 left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis 와 left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis 과 같은 두 개의 이차항 인수를 만들 수 있습니다.
인수분해를 하면 다음과 같습니다:
x2−x−6=(x+2)(x+(−3))=(x+2)(x−3)\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}
인수분해 규칙: x, squared, minus, x, minus, 6 을 인수분해하기 위해 필요한 수는 양수 left parenthesis, 2, right parenthesis와 음수 left parenthesis, minus, 3, right parenthesis입니다. 두 수의 곱이 음수 left parenthesis, minus, 6, right parenthesis이 되어야 하기 때문입니다.
보통 x, squared, plus, b, x, plus, c 를 인수분해할 때 c 가 음수이면, 두 인수는 각각 양수와 음수일 것입니다.

요약

보통 x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff 꼴인 삼항식을 인수분해하려면, 합이 start color #e07d10, b, end color #e07d10가 되는 start color #aa87ff, c, end color #aa87ff의 인수들을 찾아야 합니다.
c, equals, m, n 과 b, equals, m, plus, n 의 조건을 만족하는 두 수 m과 n이 두 수에 해당된다고 가정하면, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis 입니다.

이해했는지 확인하기

3) x, squared, minus, 8, x, minus, 9 를 인수분해하세요.

4) x, squared, minus, 10, x, plus, 24 를 인수분해하세요.

5) x, squared, plus, 7, x, minus, 30 을 인수분해하세요.

왜 이렇게 될까요?

위의 인수분해 방법을 적용할 수 있었던 이유를 알아보기 위해, x, squared, plus, 5, x, plus, 6 을 left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis 으로 인수분해했던 기존 연습문제로 돌아가 봅시다.
돌아가서 두 개의 이항식 인수를 곱하면 start color #11accd, 2, end color #11accd와 start color #1fab54, 3, end color #1fab54이 수식 x, squared, plus, 5, x, plus, 6 에 어떤 영향을 미치는지 확인할 수 있습니다.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+2⋅3=x2+(2+3)x+2⋅3\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}(x)+(x+\blueD 2)(\greenD{3})\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\cdot \greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\cdot \greenD3 \end{aligned}
x항의 계수는 start color #11accd, 2, end color #11accd와 start color #1fab54, 3, end color #1fab54의 합이며, 상수항은 start color #11accd, 2, end color #11accd와 start color #1fab54, 3, end color #1fab54의 곱입니다.

합과 곱을 이용한 x, squared의 계수가 1인 이차식의 인수분해

left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis 에 적용했던 것을 left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis 에도 적용해 봅시다.
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+m⋅n=x2+(m+n)x+m⋅n\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}(x)+(x+\blueD m)(\greenD{n})\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\cdot \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n \end{aligned}
이 과정을 요약하면 다음과 같습니다:
left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, equals, x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54
이것을 합과 곱을 이용한 x, squared의 계수가 1인 이차식의 인수분해라고 합니다.
삼항식 x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff를 x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54 꼴로 표현했을 때 start color #11accd, m, end color #11accd과 start color #1fab54, n, end color #1fab54이 start color #e07d10, b, end color #e07d10, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54 와 start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54 을 만족한다면, 이 삼항식을 left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis 으로 인수분해할 수 있습니다.

복습문제

6) 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 1 을 인수분해하기 위해 위와 같은 방법을 사용할 수 있을까요?
정답을 한 개 고르세요:

위의 방법은 어떤 경우에 이용할 수 있을까요?

일반적으로 합과 곱을 이용한 x, squared의 계수가 1인 이차식의 인수분해 방법은 임의의 정수 m과 n에 대해 삼항식이 left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis 의 꼴로 표현될 때에만 이용할 수 있습니다.
합과 곱을 이용한 인수분해 방법을 이용하려면 삼항식의 최고차항이 반드시 계수가 1인 x, squared이 되어야 합니다. left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis 과 left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis 의 곱은 항상 최고차항이 x, squared인 다항식이 되기 때문입니다.
그러나, 최고차항이 x, squared인 모든 종류의 삼항식이 인수분해되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 합이 2이고 곱이 2일 때는 두 개의 정수를 정할 수 없으므로 x, squared, plus, 2, x, plus, 2 는 인수분해할 수 없습니다.
앞으로 다양한 다항식을 인수분해하는 여러 가지 방법을 익혀 보겠습니다.

심화문제

7*) x, squared, plus, 5, x, y, plus, 6, y, squared 을 인수분해하세요.

8*) x, start superscript, 4, end superscript, minus, 5, x, squared, plus, 6 을 인수분해하세요.

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