단위행렬이란?

곱셈을 처음 배울 때 아주 오래전에 말이죠 그 때 가르쳐드린 게 무엇이냐하면 1 x ... 라는 표시를 안해도 된다는 것이었습니다. 어떤 숫자에 1을 곱하면 또 다시 그 숫자가 되기 때문이죠. 그것은 직관적으로도 이해 가능합니다. 그것은 그저 이 중에 한 숫자가 저기에 있는 바로 그 숫자가 될 것이라는 말입니다. 또 그것을 1이라고 볼 때, 우리가 보통 볼 수 있는 곱셈이나 스칼라 곱셈에서도 이런 항등식이 성립합니다. 곱셈에서의 항등 성질을 갖고 있는 것입니다. 어떠한 숫자에 1을 곱하면 그 같은 숫자가 나오기 마련입니다. 저희는 지금 행렬과 행렬의 곱셈에 대해 배우고 있으므로 여기 들 수 있는 의문은 과연 행렬 간의 곱셈에서도 항등 성질이 성립할까 입니다. 그걸 좀 더 쉽게 설명하기 위해 1번 행렬이 있다고 하면 (제가 최대한 굵게 그려보죠) 제가 곱셈을 하고 싶을 때 그것을 다시 다른 행렬과 곱하려고 할 때 저 굵은 글씨고 쓰여진 행렬을 지금 바로 곱해보도록 하겠습니다. 행렬 1을 다른 행렬인 행렬 A 과 곱한다고 하면 과연 그 결과가 행렬 A 가 될 것이냐 하는 문제입니다. 보통의 행렬을 곱하는 방식을 통해 곱했을 때 말이지요. 조금 더 와닿게 설명하자면, 한번 상상해봅시다. 행렬 A 를 예로 들어볼게요. 우리가 들은 예시 행렬 A 가 (3x3인 행렬이라고 해 봅시다.) 1,2,3,4,5,6,7,8,9 라고 해볼게요. 저는 지금 여러분이 잠시 이 비디오를 멈추고 행렬 1을 만들 수 있는지 를 생각해보시기를 권장합니다. 우선적으로 행렬의 크기가 행렬의 항등이라는 성질에 어떤 영향을 미치고 행렬 A 와는 어떤 관련이 있는지 생각해보시길 바랍니다. 제가 추측하건데 여러분이 한 번 생각해보시면 어렵지 않게 답하실 수 있을 겁니다. 그럼 행렬 A 를 이쪽에 두고 복사 붙여넣기를 해봅시다. 우선 행렬의 크기가 어떻게 될지부터 생각해보도록 합시다. 제가 행렬 1을 곱할 때, 행렬 A 에 행렬 1을 곱하면, 또 다시 행렬 A 가 나오는 것을 알 수 있습니다. 저는 3x3 행렬에다가 어떤 행렬을 곱했고, 3x3 행렬을요, 그랬더니 또 다른 3x3 행렬을 얻었습니다. 우리가 알고 있는 정보는 몇개 되지 않습니다. 우선 이 행렬들의 곱셈을 하기 위해서는 우선 정의를 이용하면, 이 행렬, 즉 항등 행렬은 행과 열의 숫자가 서로 같습니다. 이미 행렬 A가 3개의 행을 가지고 있기에 이 항등 행렬은 3개의 열을 가지고 있어야 합니다. 3개의 열을 가지고 있지요. 또한 곱셈의 결과가 되는 행렬의 크기를 통해 행렬의 행은 첫번째 행렬의 행에 의해 결정되고, 따라서 이 행렬은 3x3 행렬이 되어야 한다는 것을 알 수 있습니다. 당연히, 행렬의 열들도 두번째 행렬의 열의 개수에 의해 결정됩니다. 이것들이 바로 이 행렬을 정의하는 요소입니다. 가운데에 있는 이 두 개는 맞아떨어져야 하고, 첫번째 행렬의 행들은 곱셈의 결과가 되는 행렬의 행을 정의하고 두번째 행렬의 열들은 곱셈의 결과가 되는 행렬의 열을 정의합니다. 이 행렬은 3x3 행렬이라는 걸 알 수 있습니다. 우리가 알고 있는 다른 것들에는 무엇이 있을까요? 우리는 곱셈의 결과를 알고 있습니다. 1,2,3,4,5,6,7,8,9 임을 알 수 있죠. 생각해봅시다. 여기 있는 첫째 줄을 알기 위해서는 이 행을 곱해야 하는 데요, 이 행과 이 열을 곱합니다. 최종적인 곱을 구해야 하기 때문이죠. 저는 어떤 수데아가 1을 곱하고 4을 곱하는 과정을 거쳐야 합니다. 1을 얻으려면 7도 곱해야 하죠.