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피타고라스 삼각법의 성질 활용하기

동영상 대본

우리에게 라디안으로 표현된 -3π/2와 -π 사이의 어떤 각 θ가 주어졌다고 합시다 이는 -3π/2보다는 크고 -π보다는 작습니다 그리고 우리는 sin θ가 1/2라는 사실도 알고 있습니다 이 정보만 가지고 tan θ의 값을 알아낼 수 있을까요? 잠깐 이 동영상을 멈추고 직접 해보는 것을 추천합니다 만약 잘 안 된다면 힌트를 드리겠습니다 피타고라스 정리를 써야 합니다 sin θ의 제곱에 cos θ의 제곱을 더한 값이 1이라는 사실을 이용하는 것입니다 피타고라스 정의에 의하면 sin θ 의 제곱에 cos θ의 제곱을 더하면 1입니다 우리는 sin θ의 제곱이 1/2라는 사실을 알고 있습니다 따라서 1/2의 제곱에 cos θ의 제곱을 더하면 1이 된다고 할 수도 있습니다 다르게는 1/4에 cos θ의 제곱을 더한 값이 1이 된다고 할 수도 있습니다 아니면 양변에서 1/4을 빼서 cos θ의 제곱을 표현한다면 좌변에서 1/4을 빼주고 우변에서도 1/4을 빼주면 1-1/4는 3/4이므로 cos θ의 제곱은 3/4이라고 표현할 수 있습니다 그럼 cos θ는 얼마일까요? 일단 cos θ의 제곱은 3/4입니다 따라서 cos θ는 ± 3/4의 제곱근입니다 이는 ± 3의 제곱근을 4의 제곱근 즉 2로 나눈 수라고 할 수도 있습니다 따라서 이는 ± 3의 제곱근을 2로 나눈 수입니다 하지만 이 둘 중에 실제로 어느 값이 cos θ인지 어떻게 알 수 있을까요? 이 때 위에서 알아낸 정보가 도움이 됩니다 우선 단위원을 그려 봅시다 그리고 혹시 지금 왜 cos θ를 구하고 있는 건지 궁금하지는 않으세요? 왜냐하면 sin θ와 cos θ를 구하여 sin θ를 cos θ로 나누기만 하면 tan θ를 쉽게 구할 수 있기 때문입니다 이제 단위원을 보고 cos θ를 구해보도록 합시다 단위원을 그리기 전에 여기가 y축 여기가 x축입니다 이제 분홍색으로 단위원을 그려 볼 겁니다 원이 조금 삐뚤더라도 알아볼 수 있으실 거라 믿습니다 θ는 -3/2π보다 큽니다 그런데 -3π/2는 어디 있을까요? 이건 -1/2π입니다 이건 각의 한쪽인데 여기에 색을 칠해봅시다 이 각의 한쪽은 양의 x축의 일부입니다 그리고 이제 각의 나머지 한쪽을 알고 싶습니다 이게 -π/2이고 이게 -π입니다 그럼 이 사이에 있을 겁니다 -π가 여기고 -3π/2는 여기니까 각 θ는 이 사이 어딘가에 있을 겁니다 지금까지 이걸 한 이유는 이 각도 전체가 각도 θ라고 할 수 있는데 cos θ가 양인지 음인지를 판별하기 위해서였습니다 지금 이는 제 2사분면 위에 있습니다 cos θ는 이 각과 단위원의 교점의 x좌표를 뜻하니까 바로 이 점이 cos θ가 될 겁니다 저게 음의 값이라는 것은 확실히 알 수 있습니다 이 그림을 통해서 알게 된 사실은 cos θ가 양수가 아니라는 사실입니다 이는 음수이며 따라서 우리는 cos θ가 - 3의 제곱근을 2로 나눈 수라고 할 수 있습니다 우리는 cos θ를 구해냈지만 이제부터 tan θ를 구해야 합니다 그리고 우리는 tan θ가 sin θ를 cos θ로 나눈 값과 같다는 사실을 잊어서는 안됩니다 sin θ가 1/2라는 것은 주어져 있으니까 tan θ는 1/2를 cos θ, 즉 - 3의 제곱근을 2로 나눈 수로 나눈 것과 같다는 사실을 알 수 있습니다 이 값은 과연 얼마일까요? 이는 1/2에 cos θ의 역수인 -2를 3의 제곱근으로 나눈 값을 곱한 것과 같습니다 여기서 2는 약분이 되니까 남은 것은 -1을 3의 제곱근으로 나눈 값입니다 일부 사람들은 분모에 근호가 있는 것 즉 무리수인 분모를 좋아하지 않습니다 우리는 여기에 3의 제곱근을 3의 제곱근으로 나눈 수를 곱함으로써 분모를 유리화할 수 있습니다 따라서 tan θ는 - 3의 제곱근을 3으로 나눈 수와 같다고 할 수 있습니다 이는 사실인 것이 tan 값은 각도의 기울기를 이야기하기 때문입니다 이 직선의 기울기는 분명히 음수라는 것을 알 수 있습니다