예제: 복권 확률

어떤 복권 게임에서 승리하기 위해 게임의 참가자는 1부터 60 사이에서 4개의 수를 선택한다 단, 각 숫자는 한번씩만 선택할 수 있습니다 순서와 관계 없이 네 숫자가 모두 네개의 당첨번호와 일치한다면, 그 참가자는 승리하게 됩니다 3,15, 46, 49가 당첨번호일 확률을 구하세요 이 문제에 대해 생각하는 방법은 일단 그들은 우리가 60개의 숫자 중 4개를 선택한다고 했으므로 60개 중 4개의 숫자를 고를 때 몇 가지 방법이 있는지 생각하는 것입니다. 이제 이것은 60가지 항목이 있을 때 몇 가지 조합이 있는지를 묻는 것과 같습니다 이 경우에 우리는 60개의 숫자 중에서 4개를 선택할 것입니다. 그리고 우리는 순서에 대해서 신경쓰지 않습니다 그러므로 우리는 조합에 대해 다루고 있는 것입니다, 순열이 아닌 것이죠 우리는 선택 순서에 대해서는 신경쓰지 않으니까요 그러면 60개 중 4개짜리 묶음을 고르는 방법에는 몇 가지가 있을까요? 어떤 순서로 뽑았는지는 신경쓰지 않습니다. 그리고 이전 영상에서 우리는 공식을 보았죠, 하지만 이 공식이 도출된 이유를 아는 것이 중요합니다. 여기에 공식을 써볼게요, 하지만 실제로 그것이 의미하는 바가 무엇인지 생각해 봅시다. 그러면 60! 나누기 (60-4)!, 이것을 다시 4!로 나눠줘야 하죠, 혹은 분모에 4!을 곱해줘야 합니다. 여기 이것이 공식입니다 그러나 이것이 정말 말하는 것은, 여기 60! 나누기 (60-4)!은 그저 60 x 59 x 58 x 57라는 것입니다 여기 이 표현이 의미하는 것이죠. 이것에 대해 생각해 보자면, 처음 고르는 숫자는 1부터 60까지 중에서 선택하게 됩니다 그러면 그 숫자는 게임에서 제외됩니다. 그 다음에는 59개 중 1개를, 그리고 58개 중 1개를, 마지막으로 57개 중 1개를 선택하게 되죠. 만약 순서가 중요했다면, 이는 순열의 개수입니다 60개의 숫자 중 비복원 추출(선택한 것은 되돌려놓지 않음)로 4개의 항목을 선택할 수 있습니다 이것은 순서를 고려할 경우의 이야기였습니다만, 숫자를 과도하게 많이 세고 있어요, 왜냐하면 순열로서는 다르지만 조합으로서는 같은, 4개의 숫자 묶음들을 여러 번 세고 있기 때문이죠. 그렇기 때문에 4! 로 나눠줘야 합니다 4!은 4개의 숫자가 4개의 자리에 배열될 수 있는 경우의 수니까요. 그렇죠? 첫 번째 숫자는 4칸 중 하나에 들어갈 수 있고, 2번째 숫자는 3칸 중 하나, 그리고 2칸, 마지막으로 1칸이 남죠. 그래서 우리가 4! 로 나눠줘야 합니다 어쨌든, 이것을 계산해 봅시다. 이 복권 게임에서 몇 가지 경우가 가능한지 알 수 있겠죠 그러니까 이 값은, 우리는 이미 파란 부분이 60 x 59 x 58 x 57과 같다고 말했죠. 그러니까 이건 말 그대로 60! 나누기 56! 이예요. 그리고 4! 이 여기 있군요 이 값은 4 x 3 x 2 x 1이죠. 그리고 우리는 계산기를 꺼내기 전에 조금 더 간단히 만들 수 있습니다. 60 나누기 4는 15죠. 15 나누기 3은 5네요. 그리고 58 나누기 2는 29입니다. 그러니까 결과는 5 x 59 x 29 x 57이 될 겁니다. 이건 우리 답이 아닙니다 이것은 우리가 60개의 숫자 중 4개를 선택할 때 순서를 고려하지 않고 얻을 수 있는 조합의 숫자가 될 것입니다. 그러면 이제 계산기를 꺼내 보죠. 5 x 59 x 29 x 57을 계산해야 해요. 답은 487,635네요. 써 봅시다 487,635개의 조합이 있습니다. 만약 4개의 숫자를 선택하려 한다면, 60개 중 4개를 선택하는 것입니다, 혹은 60 C 4. 자, 그러면 원래 문제는 당첨 번호가 3, 15, 46, 그리고 49일 확률이 얼마냐는 것입니다. 음, 이건 그저 모든 조합들 가운데 한 가지 특별한 경우에 불과합니다 이건 단지 487,635가지 가능한 결과들 중 하나입니다. 그러니까 3, 15, 46, 49가 당첨번호일 확률은 그저 487,635개 중 하나에 해당합니다 이것이 당신의 당첨 확률이겠네요 가능한 모든 결과들 가운데 하나이죠 60개 중 4개를 선택할 때의 조합의 숫자들 가운데 하나군요