가역함수인지 확인하기

f는 정의역이 a 부터 e 인 유한한 함수입니다 이것은 f 의 정의역에 따른 결과들을 배열한 표입니다 만약 x 가 a 라면 우리가 함수에 a 를 넣으면 -6을 얻을 수 있습니다 f(a) 는 -6 입니다 b를 넣으면 3을, c를 넣으면 -6을 얻을 수 있습니다 d를 넣으면 2를, e를 넣으면 -6를 얻을 수 있습니다 "선분의 끝 점을 드래그해서 각각의 원소들을 대응시켜 함수를 그리고 함수 f가 가역인지 결정하시오" 좋아요, 어떻게 되는지 봅시다 조금만 화면을 내려봅시다 이 보라색 원은 함수 f 에서 정의역을 나타내고 오른쪽은 치역을 나타냅니다 그래서 이 함수는 정의역에 있는 원소를 넣으면 이 정의역의 원소에서 치역의 원소로 대응됩니다 예를 들어, 이 함수에 a를 넣으면 그것은 -6에 대응됩니다 a는 -6에 대응되므로, 이 점으로 이동합니다 b는 3으로 가고 c는 -6으로 가는데, 여기서 -6으로 가는 여러 가지 값들이 있습니다 그래서 f 는 함수로서 알맞습니다 하지만 우리는 f 가 가역이어야 하는데에서 조금 까다로운 부분을 볼 수 있습니다 d는 2로 가고, 2에 대응됩니다 여러분이 d를 이 함수에 넣으면 2를 얻을 수 있습니다 그리고 e는 마찬가지로 -6에 대응됩니다 이건 함수 f가 어떻게 생겼는지를 보여주는 그림입니다 a에서 e까지 원소가 모두 치역에 대응됩니다 하지만 '이 함수는 가역일까?' 하는 의문이 듭니다 이미 조금 힌트를 드렸습니다 이 함수가 가역이기 위해서는 반대로 대응시켰을 때 여러분은 각각의 점에 대응되는 함수가 필요합니다 하지만 그건 함수로 정의되어야 합니다 여러분이 3을 역함수에 넣으면 b 가 나와야 됩니다 만약 여러분이 2를 역함수에 넣으면 d 가 나와야 합니다 여러분이 -6을 역함수에 넣으면 이 역함수는 함수가 아니게 됩니다 어떻게 이게 가능한가 하면 만약 저 함수에 한 가지 값을 넣으면 a, c, e로 세 가지 가능한 값이 있지만 여러분은 한 가지 값만을 가질 수 있습니다 그것이 불가능하므로 그 역함수는 함수가 아니기 때문에 역함수를 정의할 수 없습니다 역함수에서 세 가지 값을 얻을 수 있기 때문에 -6을 넣지 못합니다 그래서 이 함수는 가역이 아닙니다 다음 예제로 넘어가 봅시다 이 문제도 같은 유형입니다 정의역과 치역에 각각 원소들이 있습니다 이제 함수를 그릴 수 있습니다 a는 -36에 대응되고 b는 9에 대응됩니다 c는 -4에 d는 49에 그리고 e는 25에 대응됩니다 그리고 e는 25에 대응됩니다 그럼 이 함수는 가역일까요? 생각해봅시다 이런, d가 49에 대응되야 했네요 그럼, 이 가상의 역함수가 어떻게 되어야 하는지 생각해봅시다 일단 치역의 모든 원소들을 대상으로 역함수를 대응시켜봅시다 여러분은 역함수에 49를 넣으면 d를 얻게 됩니다 25를 넣으면 e를 얻습니다 9를 넣으면 b를 얻습니다 -4를 넣으면 c를 얻습니다 -36을 넣으면 a를 얻습니다 이렇게 여러분은 쉽게 역함수를 그릴 수 있습니다 그래서 이 함수는 가역입니다 여기서 한 가지 생각을 해보자면 이 함수는 일대일 대응입니다 정의역의 각각의 원소가 치역의 원소에 하나씩만 대응되게 됩니다 정의역에, 치역의 한 원소에 대응되는 두 가지 원소를 가지지 않습니다 어쨌든, 흥미롭습니다