삼각형의 닮음이란?

삼각형 ABC와 삼각형 XYZ를 비교한다면 두 개가 합동이 아니라는 것을 볼 수 있습니다 각 변들의 길이가 다르기 때문이죠 하지만, 흥미로운 점은 두 개의 삼각형 사이의 관계입니다 첫 번째로, 두 개의 삼각형의 대응각의 크기가 모두 같습니다 즉, 각 BAC의 크기는 각 YXZ의 크기와 동일합니다 각 BCA는 각 YZX와 동일하고 각 ABC는 각 XYZ와 동일합니다 이것으로 삼각형의 모든 대응각들의 각도가 같음을 볼 수 있습니다 그리고 삼각형의 대응하는 변들의 길이가 어떤 수를 곱해서 나온 값이라는 것을 알 수 있습니다 변 XZ와 변 AC를 비교하면 이 변의 세 배는 AC의 길이라는 것을 알 수 있고 변 XY의 길이와 대응변은 변 AB를 비교하자면 변 XY의 3배가 변 AB라는 것을 알 수 있습니다 그리고 변 YZ의 길이와 변 BC를 비교하자면 변 YZ의 길이를 3배를 할 경우 변 BC와 길이가 같은 것이 보입니다 여기서 중요한 점은 삼각형 ABC는 삼각형 XYZ를 3배 한 삼각형이라는 점입니다 만약 두 개가 같은 크기였다면 두 개는 합동이었겠죠 하지만 삼각형 하나가 비교적 크기 때문에 이 삼각형의 변들을 모두 3배 하면 옆에 있는 삼각형이 만들어집니다 따라서 이 둘을 합동이라 할 순 없지만 둘 사이에는 조금 더 특별한 관계가 존재하죠 우리는 이것을 닮음이라 부릅니다 삼각형 ABC는 어떤 삼각형과 닮음 관계를 가진다고 하는 것입니다 적을 때 각 대응하는 점들의 순서를 주의해서 적어야 합니다 삼각형 ABC는 삼각형 XYZ와 닮음입니다 여태까지 배운 것들 중에 대략 3가지 핵심요소가 있는데 이 요소들은 모두 같은 형식의 사고라고 생각하시면 됩니다 한가지 방법으로는 한 도형이, 다른 도형을 일정한 비율로 변형시킨 것이라 생각하는 것이죠 일정한 비율로 확대를 하거나 축소를 한 것이라 생각하는 거죠 도형이 합동일 때는, 두 개의 도형이 완벽히 일치해야 합니다 돌리거나, 움직이거나, 뒤집고 어떻게 하더라도 두 개의 도형은 완벽히 일치해야 한다는 것이죠 닮음에 대해서 말할 때는 돌리거나, 움직이거나, 뒤집거나 크기의 비율을 조금 달리해도 닮음이 성립을 하게 됩니다 예를 들어서, 어떤 것이 합동이라고 가정하면 만약 삼각형 CDE가 삼각형 FGH와 합동이라고 가정을 합시다 그러면 이 둘은 닮음인 관계에 있겠죠 이 둘 중 하나의 크기가 변해도 우리는 삼각형 CDE가 아직도 삼각형 FGH와 닮았다고 말할 수 있는 것입니다 하지만 반대의 경우는 성립하지 않습니다 만약 삼각형 ABC가 삼각형 XYZ와 닮음일 때 우리는 그 둘이 반드시 합동이라고 말할 수 없습니다 이 예에서 보듯이 둘이 합동이 아니죠 이것이 닮음에 대해서 생각해 볼 수 있는 방법 중 하나이고 또 다른 방법은 모든 대응각들의 크기가 일치한다는 것입니다 즉, 두 개의 삼각형이 닮았다면 모든 대응각들의 크기가 같을 것이라는 말이죠 대응각은 항상 이것을 적을 때 철자 실수를 하네요 R이 두 개 있고 S가 하나 있어요 대응각들은 모두 크기가 같아야 합니다 삼각형 ABC가 삼각형 XYZ와 닮았다고 하는 것은 이것과 같은 의미입니다 각 ABC의 크기는 각 XYZ의 크기와 같다는 것이죠 각 XYZ 각 BAC의 크기는 각 YXZ의 크기와 같은 것입니다 마지막으로, 각 ACB는 각 XZY와 같을 것입니다 각 XZY 즉, 대응각들의 크기가 같을 경우 두 개의 삼각형들은 닮음이라는 것을 알 수 있습니다 또는 우리는 이 두 삼각형이 닮았다는 것을 알았을 때 각 대응각의 크기가 같은 것을 알 수 있을 것입니다 마지막으로는 모든 대응변들의 길이 비율이 같은 것이죠 변들이 일정한 비율로 달라졌을 때 방금 전의 예에서는 비율을 3배로 했는데 꼭 3배로 할 필요는 없습니다 각 변마다 동일한 비율을 유지하기만 하면 됩니다 이 변이 3배가 되었을 때 만약 한 변의 길이만 2배를 했을 때는 더 이상 닮음이 성립되지 않습니다 하지만 만약 모든 변들을 7배 한다면 여전히 삼각형은 닮음이 됩니다 모든 변을 같은 비율로 확대를 하거나 축소를 하면 되는 것입니다 삼각형을 그려서 볼게요 이것들을 조금 더 비슷하게 다시 한번 그려보면 일반적으로 그려볼게요 이것을 삼각형 ABC라고 하고 이것을 삼각형 XYZ라 합시다 이것을 다시 그리는 이유는 지금까지의 설명을 다시 말해주기 위해서입니다 우리가 이 두 개를 닮음이라고 했을 때 각 대응변의 길이가 다른 대응변의 길이의 배수라는 뜻입니다 즉 우리는 변 AB가 어떠한 비례상수 K 와 변 XY의 길이의 곱이 대응변의 길이와 일치하는 것입니다 여기서 우리는 선분 AB의 대응변이 선분 XY라는 것을 알고 있습니다 이 닮음식에서 쓴 순서를 보고 말이죠 K 와 변 XY의 길이의 곱이 변 BC의 길이와 동일하다는 것을 알 수 있습니다 변 BC의 길이는 동일한 K 값과 변 YZ의 곱과 같다는 것 또한 알 수 있습니다 그러고는 변 AC의 길이는 동일한 K의 값과 변 XZ의 곱과 일치할 것입니다 이것이 변 XZ고 이것이 비례상수입니다 만약 변 AB가 크다면 즉 삼각형 ABC가 삼각형 XYZ보다 크다면 K가 1보다 크다는 뜻이고 둘의 크기가 같고 둘이 완벽히 합동이라면 K는 1이라는 것을 알 수 있습니다 만약 삼각형 XYZ가 삼각형 ABC보다 크다면 K는 1보다 작다는 것을 보여줍니다 이것을 다른방법으로 쓰자면 제가 말하고 있는 것은 대응변들이 각각 일정한 비례상수로 크기가 변형되고 있다는 것입니다 첫 번째를 보면 이 두개의 변을 변 XY로 나눈다면 변 XY 분의 변 AB가 될 것이고 이것이 K의 값이 될 것입니다 두 번째를 보면 변 YZ로 나눈다면 변 YZ 분의 변 BC가 K의 값이 될 것입니다 이 값이 비례상수인 K가 될 것입니다 어떠한 예를 보여주던지 방금 보여주었던 예는 비례상수가 3이었지만 여기서 보여주려는 것은 비례상수를 좀 더 일반적으로 설명하는 것입니다 마지막으로 이 두 변을 나눈다면 변 XZ의 길이로 나눈다면 변 XZ 분의 변 AC의 값이 K가 될 것입니다 다른 방법으로 생각해보자면 대응변 사이의 비율은 변 AB와 변 XY 사이의 비율은 변 BC와 변 YZ 사이의 비율과 변 AC와 변 XZ 사이의 비율과 대응변끼리의 비율들은 모두 같은 값을 나타낼 것입니다 또는 변 XY 분의 변 AB는 변 YZ 분의 변 BC와 변 XZ분의 변 AC의 값이 모두 같다고 해도 됩니다 이 값은 비례상수와 동일할 것이고 즉 K와 동일하다는 것이죠 따라서 닮음인 삼각형을 가지고 있다면 여기에 화살표를 그려보도록 하죠 닮음인 삼각형들은 그들의 크기가 변형됐다는 것을 뜻합니다 이것을 돌리거나 뒤집거나 아니면 크기를 늘리거나 줄인다고 해도 대응각의 크기가 동일하고 대응변 사이의 비율이 동일하다면 이것이 모든 변에 해당이 된다면 또는 이 비율이 항상 일정하면 닮음이라고 부르는 것입니다