종속 확률이란?

우리가 이상한 카지노에 있다고 상상해봅시다. 여기엔 이상한 게임이 있습니다. 당신은 한 탁자로 걸어가고, 탁자 위에는 비어있는 자루가 있습니다. 탁자 관리인이 말하길, "보세요, 제가 구슬을 가지고 있어요, 초록색 3개와 주황색 2개가 있는데, 이걸 다 자루에 넣을 겁니다." 그 사람은 말대로 빈 자루에 그것들을 넣습니다. 정말로 초록 구슬 3개와 주황 구슬 2개가 있다는 걸 보여주기 위해서요. 그리고 그가 말하길, "제가 하고 싶은, 아니면 당신이 원하는 이 게임은, 우선 보지 않고, 손을 자루 안에 넣습니다. 자루는 불투명합니다. 구슬을 한 번 만져보면, 모든 구슬의 촉감은 같습니다. 그리고 만약 당신이 2개의 초록색 구슬을 골라낸다면, 만약 당신이 구슬을 한 개 꺼냈는데 초록색이라면, 탁자에 놓은 후 손을 다시 자루 속으로 넣습니다. 구슬을 한 개 더 꺼내고, 만약 그것도 초록색이라면 당신은 상품을 얻게 될 것입니다. 2개의 초록 구슬을 골라내면 1달러를 받을 것입니다." 당신은 말합니다, "흥미로운 게임 같군요. 게임 비용이 얼마입니까? 그리고 남자가 말하길, 35센트가 든다고 합니다. 확실히, 비교적 낮은 판돈의 카지노 게임이죠. 그래서 제 질문은, 이 게임을 하고 싶으신가요? 그리고 재미요소를 가미해 생각하지 마세요. 경제적으로 생각했을 때, 당신은 이 게임을 하는 것이 좋을까요? 일단, 확률에 대해 조금 생각해봅시다. 우선, 처음 뽑은 구슬이 초록색일 확률은 얼마입니까? 첫 구슬이 초록색일 확률이 얼마인가요? 첫 번째가 초록색이라고 그냥 쓰겠습니다. 첫 번째가 초록색일 확률 가능한 총 경우의 수를 구하자면, 모두 같아 보이는 다섯 개의 구슬이 있죠, 그래서 다섯 가지 가능한 경우가 있습니다. 이 5가지 경우 중 세 가지는 첫 번째가 초록색이라는 사건을 만족시키죠, 따라서 첫 번째가 초록색일 확률은 3/5입니다. 당신은 3/5의 가능성을 갖습니다. 3/5의 확률, 말하자면, 첫 번째를 뽑은 후 당신은 여전히 게임 중이겠지요. 이제, 우리가 정말로 신경쓸 것은 당신이 게임을 이길 확률입니다. 당신은 첫 번째도 초록색, 두 번째도 초록색이길 원합니다. 이것에 대해 조금 생각해봅시다. 첫 번째가 초록색이고, 초록색을 편의상 "g"라고 쓰겠습니다. 그리고 두 번째도 초록색일 확률은 얼마입니까? 이제, 당신은 이렇게 말하고 싶을지도 모릅니다. "두 번째 뽑은 구슬이 초록색일 확률은 첫 번째와 같겠네요. 3/5겠지요. 따라서, 나는 3/5와 3/5를 곱하기만 하면 되겠죠? 그러면 9/25가 될 거에요. 꽤 간단한 것 같아 보이네요." 하지만 여기서 깨달을 점은 첫 번째 초록색 구슬을 꺼내 무얼 하는지 입니다. 첫 번째 초록색 구슬을 꺼낸 후, 본 뒤, 다시 자루 속으로 넣지 않습니다. 그러므로 두 번째 뽑기를 할 때에는, 자루 속의 초록색 구슬의 개수는 당신이 첫 번째로 어떤 색깔의 구슬을 뽑았는지에 따라 다릅니다. 기억하세요, 우리는 구슬을 꺼내죠, 그것이 초록색이던 무슨 색 구슬이던, 첫 번째 뽑기에서 얻은 구슬의 색에 상관 없이, 그것을 탁자 위에 놓습니다. 우리는 꺼낸 것을 메우지 않으므로, 자루 속에 구슬을 또 넣지는 않습니다. 따라서 이들은 독립 사건이 아닙니다. 이들이 독립적이지 않다는 것을 명확히 합시다. 혹은 특히, 두 번째 뽑기가 첫 번째에 달려 있다는 것을. 첫 뽑기의 결과에 종속적이라는 것입니다. 만약 첫 뽑기에서 초록색 구슬을 얻었다면, 더 이상 5개의 구슬이 든 자루에 3개의 초록색 구슬이 들어있지 않습니다. 첫 번째 구슬이 초록색이라면, 이제 자루에는 총 4개의 구슬이 있고 그 중 2개가 초록색인 것입니다. 그래서 우리는 이 두 가지가 한꺼번에 일어나는 확률을 보아야 합니다. 네, 첫 번째 구슬이 초록색일 확률은 여전히 같습니다. 그리고, 이 것은 새로운 방식인데, 두 번째 구슬이 초록색일 확률을 곱할 것입니다. 여기 있는 이 선이, 이 세로로 세워져 있는 선은 이미 주어진 바를 나타냅니다. 이미 정해진 사건이죠. 첫 번째 구슬이 초록색이라는 사실을 말입니다. 이제, 첫 구슬이 초록색이라 주어졌을 때, 두 번째 구슬이 초록색일 확률은 얼마일까요? 우리는 여기에 이 상황을 그려 놓았죠, 첫 번째 구슬이 초록색일 때, 4가지의 경우의 수가 있습니다. 더 이상 5가지가 아닙니다. 그리고 그 중 두 가지는 초록색 구슬을 뽑는 경우이겠죠. 그러니까 두 가지 경우가 당신의 조건을 만족시킵니다. 따라서, 첫 번째와 두 번째 구슬이 모두 초록색일 확률은 첫 번째 구슬이 초록색인 확률에, 3/5이죠, 첫 번째 구슬이 초록색이라는 조건 하에, 두 번째 구슬이 초록색일 확률을 곱합니다. 이제 자루에 구슬 하나가 줄었고, 우리는 처음 뽑은 구슬이 초록색이라고 가정하기 때문에 이제는 초록색 구슬 중 두 개만 남아 있습니다. 이 사실이 총 확률에 어떤 영향을 미치게 될까요? 봅시다. 3/5 곱하기 2/4, 2/4는 약분하면 1/2와 같죠, 그래서 3/5 곱하기 1/2가 되고요, 그것은 3/10이 됩니다. 혹은 소수로 0.30이라 쓸 수 있고, 또는 30%의 확률이 있다고 할 수 있겠죠, 뽑은 구슬의 자리를 메우지 않을 때 두 개의 초록색 구슬을 뽑을 확률 말입니다. 이 사실이 주어졌으니, 질문을 다시 해보겠습니다. 이 게임을 하고 싶습니까? 만약 당신이 이 게임을 아주 많이 해 보았다면, 평균적으로, 당신은 30%의 확률으로 게임을 이겨서 1달러를 받을 수 있습니다. 그리고, 아직 우리는 이 부분은 다루지 않았으나, 당신의 기대값은 사실상, 1달러에 30%를 곱한 것일 것입니다. 이것을 통해서 조금 알 수 있듯이, 30센트가 되겠죠. 1달러를 받을 확률은 30%인 것입니다. 당신의 기대치는, 평균적으로, 아주 많이 게임을 한다면 게임을 통해 30센트를 버는 것일 것입니다. 그렇다면, 당신은 누군가에게 평균적으로 30센트를 얻기 위해 35센트를 줄 것인가요? 아니요! 당신은 게임을 하고 싶지 않을 것입니다. 이제, 당신이 한 가지 생각해 보아야 합니다. 이러한 조건에서라면 게임을 하겠습니까? 첫 번째로 뽑은 초록색 구슬을 다시 넣을 수 있다면, 첫 번째 뽑기 후에 초록색 구슬을 다시 넣을 수 있다면, 이러한 상황에서라면 이 게임을 하시겠습니까?