증명: 원에 내접한 직각삼각형

5: 원이 있다고 해봅시다 그 원에는 지름도 있겠죠 지름을 그려볼게요 나름 잘 그렸네요 ㅎ 여기 그린 이 선을 원의 지름이라고 합니다 이게 지름이구요 지름을 한변으로 갖는 원에 내접하는 삼각형이 있다고 합시다 지름 맞은 편에 있는 각 즉 꼭지점은 원주 위의 어딘가에 놓여 있게 되겠죠 이 지름 맞은 편에 있는 각이 원주 위 여기에 있다고 해봅시다 삼각형의 모양은 이렇게 되겠죠 이 비디오에서 보여주려고 하는 것은 이 삼각형이 직각삼각형이 된다는 거에요 이 90도인 각은 지름과 마주하고 있는데요 아직은 이 각을 90도라고 표기하고 싶진 않아요 이 증명의 재미를 떨어뜨리니까요 어떻게 직각 삼각형인걸 보여줄 수 있을까요 우리는 원주각이란 개념을 쓸 수 있어요 동일한 호에 대해 대응되는 동일한 중심각과 관련있는 각이죠 한 번 봅시다 여기 이러한 원주각이 있다고 해보죠 세타라고 부를 거에요 이게 원의 중심이라고 하면 바로 여기요 여기가 바로 중심각이 될거에요 또 다른 삼각형을 이렇게 만들어 볼게요 여기가 중심각이 될 거에요 이건 반지름이고요 여기도 같은 반지름이 되겠죠 이곳와 이곳의 거리는 같아요 이전 동영상들에서 봤듯이 여기 이 원주각은 이 호와 대응돼요 이 호에 대한 중심각은 아까 그 원주각의 2배가 될 거에요 이전 영상들에서 증명을 했었죠 그래서 여기가 2세타가 될 거에요 같은 길이의 호에 동일하게 대응되는 중심각이에요 여기 보이는 이 삼각형은 이등변 삼각형이에요 회전시켜서 이렇게 다시 그릴 수 있어요 회전시켜서 이렇게 다시 그릴 수 있어요 초록색 선분은 여기에 오게 되겠죠 여기 두 변의 길이는 r이 될 거에요 이 각은 2세타가 되겠죠 한 마디로 그냥 이 삼각형을 보기 편하게 다시 그린 거에요 이 변은 저 변이랑 동일한 변이죠 두 변의 길이가 동일하니까 이등변이고 밑의 두 각이 같겠네요 이 각과 이 각이 같을 거고 여기에 있는 이 두 각의 크기도 같겠네요 세타는 이미 썼으니까 x라고 표현해 볼게요 이 두 각은 모두 x가 되겠네요 그러면 x가 무슨 값과 동일해야 할까요? 2x와 2세타의 합은 180이겠네요 삼각형의 내각의 합은 180도이니까요 여기다 써볼게요 다음과 같은 식이 나오게 되죠 정리하면 이렇게 돼요 2x에 대해서 정리해주면 다음과 같아요 이 값을 2로 나누면 x는 90도에서 세타를 뺀 것과 같네요 따라서 x=90-세타 에요 이제 또 무슨 관계식을 얻을 수 있을까요 여기 있는 이 삼각형을 살펴봅시다 여기 이 변도 똑같은 길이를 갖을 거에요 반지름과 똑같은 길이요 우리는 여기 이 변에서 반지름을 이미 r이라고 나타냈네요 이 삼각형 역시 이등변 삼각형이네요 두 변이 같으니까 여기 있는 두 각도 같아야 하겠네요 여기가 세타라면 여기도 똑같이 세타가 되어야 해요 우리는 이 세타를 앞에서 동일한 호를 대변하는 중심각에 대한 원주각을 나타내는데 썼었죠 이게 만약 세타라면 저 각도 세타에요 이등변 삼각형이니까요 그러면 여기 이 각은 얼마일까요? 세타와 (90-세타)의 합이 되겠네요 따라서 이 각은 세타+90-세타 니까 세타가 지워지고 90도가 되겠네요 따라서 삼각형의 한 변이 원의 지름이라면 지름을 마주하고 있는 원주 위의 삼각형의 각은 90도 즉 직각이 되겠네요 그리고 이 삼각형은 직각 삼각형이 되겠죠 이렇게 임의로 삼각형을 그려보면 임의의 점을 잡고 이렇게 그리면 이 삼각형은 직각삼각형이에요 여기 또 임의의 점을 잡고 이렇게 그리면 마찬가지로 직각 삼각형이 돼요 이 모든 삼각형들에 대해서 동일하게 증명을 적용할 수 있어요 임의로 그려진 삼각형에 대해 증명을 했기 때문에 모든 삼각형에 대해 이 증명을 적용할 수 있는 거에요