평균변화율 문제 해결하기: 그래프

트리사는 스카이다이빙을 하러 갔습니다 아래 그래프는 트리사의 높이를 미터를 기준으로 하여 초를 기준으로 하는 시간의 함수로 표현한 것입니다 그래프를 한 번 봅시다 그래프가 꽤 크네요 좀 더 줌아웃 해보겠습니다 그럼 0초일 때 트리사가 있는 곳의 높이는 700미터입니다 그리고 시간이 지날수록 트리사의 높이가 감소하는 것을 볼 수 있습니다 그리고 그래프의 오른쪽으로 갈수록 점점 빠른 속도로 높이가 감소합니다 트리사의 높이가 감소하는 정도가 10초쯤에 다다를 때 굉장히 가파릅니다 그런데 갑자기 높이가 감소하는 정도가 줄어듭니다 시간이 지날수록 줄어들긴 줄어들고 있는데 천천히 감소하고 있습니다 그녀가 있는 높이가 덜 심각하게 감소하고 있다고 볼 수 있습니다 여기는 굉장히 가파르고 심하게 감소하게 있습니다 굉장히 가파르다고 볼 수 있지요 그런데 덜 가팔라집니다. 그녀의 높이는 덜 가파르게 변하고 있고 이것이 말이 되는 이유는 그녀가 이 지점에서 낙하산을 펼치기 때문입니다 10초가 지난 후에는 그녀가 낙하산을 펼칩니다 0초부터 점프를 하고 10초 때는 낙하산을 펼칩니다 그럼 질문의 내용이 무엇인지 알아봅시다 "다음 문장을 완성하시오" "트리사가 뛰고 난 후 3초와 8초 사이에서 그녀의 높이는 감소했는데, 그 감소한 정도는 평균 ?미터/초입니다" 3초와 8초 사이 시간은 3초이고 당시 몇 미터에 위치해있었는지 확인해봅시다 그래프만 보고 있으니 직접 그려서 확인해봐야하네요 3초 때 그녀는--우리는 단지 근사값만 구할 수 있습니다-- 3초가 지난 후 그녀의 높이는 600미터와 700미터의 중간쯤으로 보입니다 대략 650미터인 듯합니다 3초와 8초 사이를 구해야 하니 8초 때의 높이를 구해야 합니다 8초 때 트리사의 높이는 350미터와 400미터의 중간쯤에 위치하는 것 같습니다 8초 때 그녀의 높이는 --아 그런데 저는 지금 어림으로만 계산하고 있기에 등호의 표시를 이렇게 쭈글쭈글하게 하겠습니다-- 8초 때 그녀의 높이는 대략 375미터로 보입니다 375미터입니다 그러면 그녀의 변화율의 평균은 얼마일까요? 그녀의 높이는 평균적으로 ?만큼 감소했습니다 변화율의 평균을 구하는 것이 목적이네요 변화율의 평균은 두 점을 연결하는 직선의 기울기로 볼 수 있습니다 이 직선의 기울기가 바로 그녀의 높이의 변화율의 평균이 될 것입니다 그럼 한 번 생각해봅시다 그녀의 평균 변화율은 (높이의 변화율/시간의 변화율)을 구하면 됩니다 이는 (8초때의 높이-3초 때의 높이)가 높이의 변화율이고요 시간의 변화율은 (8초-3초)입니다 3초는 바로 이 구간의 시작 지점이지요 8초 때의 높이는 대략 375미터인 것을 이미 구했고 3초 때의 높이는 대략 650미터입니다 8 빼기 3은 당연히 5가 되겠습니다 이것은 그저 그녀의 평균 변화율이라는 점을 강조하고 싶습니다 근사값이며, 평균일 뿐입니다 그것도 표시된 구간에서만 말입니다 3초에서 8초 사이의 구간에서 3초 때 높이로부터 8초 때의 높이로 가는 것입니다 이는 (375-650) 375 빼기 675라고 가정하면 답은 -300이 되겠지만 우리가 구해야 하는 것은 375 빼기 650입니다 그러니 -300보다 25가 클 것입니다 -275가 되겠네요 (-275/5)입니다 계산을 제대로 했겠지요? 혹시 모르니 다시 해보면 375 빼기 650는 -275가 맞네요 275 더하기 375는 650이니 계산이 맞았습니다 그럼 (-275/5)가 뭔지만 알아내면 되겠네요 일단 275 나누기 5를 한 다음에 음수로 바꾸면 되니 275를 5로 나눠보겠습니다 5는 27 안에 5번 들어갑니다 5 곱하기 5는 25입니다 (27-25)는 2입니다 5를 내려서 25를 만들면 5는 또 다시 25 안에 5번 딱 맞게 들어가니 나머지는 없겠습니다 따라서 (-275/5)는 -55입니다 단위를 살펴보면, 그녀의 높이는 미터로 계산되었고 위쪽 분자 부분은 미터로 계산되었지요 분모는 초이니 미터/초 단위네요 따라서 그녀의 높이의 평균 변화율은 5초를 기준으로 한 구간에서 그녀의 높이의 평균 변화율은 -55 미터/초 입니다 다른 관점에서 보자면 이 직선의 기울기가 -55와 같다는 것입니다 이 빈칸에 바로 -55라고 답을 쓰고 싶겠지만 과연 이것이 옳은 답일지 다시 한 번 생각해봅시다 "트리사가 뛰고 난 후 3초부터 8초 사이에서 그녀의 높이는 평균적으로 -55 미터/초 만큼 감소하였습니다" 여기서 "감소하였다"는 단어가 굉장히 중요합니다 왜냐하면 수 앞에 -부호를 붙였다는 것이 감소했다는 뜻인데, 수 자체에서 평균이 감소한다는 것을 나타냅니다 그녀의 높이가 계속 변하는 것은 감소하는 것입니다 음수가 벌써 그녀의 높이가 감소한다는 것을 보여주기 때문에 음수로 감소한다는 것은 말이 안됩니다 55 미터/초로 감소한다고 표현하는 것이 옳습니다 다시 쓰겠습니다 55 미터/초 만약 질문이 그녀의 높이의 평균 변화가 --아 정정하겠습니다 그녀의 높이의 평균 변화율이-- 3초에서 8초 구간의 평균 변화율을 구하라고 하면 답은 -55 미터/초 일테지요 그런데 질문은 그녀의 높이가 감소했다고 이미 명시하고 있기 때문에 -55에서 음수 부분을 빼는 것입니다 문제에서 이미 말하고 있으므로 - 부호를 또 쓸 필요가 없습니다 55 미터/초의 변화율로 감소한다는 것은 정답이길 바라네요