지수함수의 표 분석하기

지수함수 h(n)이 있다고 합시다 지수함수이므로 형태는 a · rⁿ이며 a는 초깃값이고 r은 공비를 나타냅니다 r > 0 이라고 가정합시다 그리고 함수 h(n)에 대해 정보가 주어졌습니다 n = 2일 때, h(2) = 144이고 h(4) = 324이고 h(6) = 729입니다 이 정보를 바탕으로 a와 r의 값을 구해 봅시다 동영상을 잠시 멈추고 한번 풀어 보세요 같이 풀어 볼까요? 먼저 r을 구해 봅시다 r은 공비를 나타내죠 표의 대입값이 연속됐다면 h(3)값도 있었겠죠 h(3)과 h(2)값 사이의 비율을 구하면 공비 r을 구할 수 있었을 거예요 또는 h(4)와 h(3) 사이의 비율을 구할 수도 있었겠죠 하지만 h(4)와 h(2) 사이의 비율을 이용할 수도 있어요 h(4)값과 h(2)값의 비율을 구해 봅시다 h(4)/h(2)는 h(4)가 324고 h(2)가 144이므로 324/144가 됩니다 이를 약분해 봅시다 분자와 분모 모두 2로 나눌 수 있겠죠? 분자를 나누면 324 ÷ 2 = 162이고 분모를 나누면 144 ÷ 2 = 72입니다 2로 한 번 더 나누면 81/36이 됩니다 2로는 더 이상 나눌 수는 없지만 9로는 나눌 수 있습니다 81 ÷ 9 = 9이고 36 ÷ 9 = 4입니다 따라서 h(4)와 h(2) 사이의 비율은 9/4입니다 이 비율을 지수함수 형태로 나타낼 수도 있습니다 h(4)는 a · r⁴이고 h(2)는 a · r²이므로 9/4 = a · r⁴/a · r² 입니다 이를 정리해보면 a는 약분되어 1이 되고 r⁴을 r²으로 나누면 4 - 2 = 2이므로 r²이 됩니다 따라서 9/4 = r² 입니다 다시 써 보면 r² = 9/4 입니다 이때 r은 0보다 크므로 r은 9/4의 제곱근이 됩니다 따라서 r은 3/2입니다 이렇게 r을 구했습니다 이제 a를 구해 봅시다 a를 구하는 방법은 여러 가지입니다 a값은 h(0)일 때의 값과 같습니다 표를 그려서 구해 봅시다 여기에 표를 그려 볼게요 표의 왼쪽에는 n을 쓰고 오른쪽에는 h(n)을 쓸게요 n이 0일 때의 값은 아직 모르지만 a가 되겠죠 n이 1일 때의 값도 아직 모릅니다 h(2)의 값은 144라는 것을 알고 있죠 또한 공비는 3/2이므로 h(1)의 값에 3/2를 곱해주면 h(2)의 값이 될 것입니다 그리고 h(0)의 값에 3/2를 곱하면 h(1)의 값이 나올 것입니다 h(1)은 144를 3/2로 나눈 값이에요 h(1) = 144 ÷ 3/2이므로 144 × 2/3와 같습니다 144 ÷ 3은 무엇일까요? 글로 써서 계산해 봅시다 3은 14에 4번 들어갑니다 4 × 3 = 12이므로 빼면 24가 남습니다 3은 24에 8번 들어가고 나머지가 없으므로 144 ÷ 3 = 48입니다 그러므로 144 × 2/3는 48 × 2가 되고 계산하면 96이 됩니다 따라서 h(1) = 96입니다 h(0)의 값을 구하기 위해 3/2로 한 번 더 나눠 봅시다 h(0) = 96 ÷ 3/2이므로 96 × 2/3와 같습니다 96 ÷ 3 = 32이므로 96 × 2/3는 32 × 2가 됩니다 32 × 2 = 64입니다 따라서 h(0) = 64에요 이렇게 a = 64와 r = 3/2을 구했습니다 h(n)의 식을 정리해서 다시 써 봅시다 h(n) = 64 · (3/2)ⁿ 이제 표를 이용하지 않고 구해 봅시다 r값을 구했을 때 a값을 구해볼 거예요 예를 들어서 h(2)값을 보면 h(2) = a · (3/2)²라고 쓸 수 있습니다 이 값은 144와 같죠 계산하면 a · 9/4 = 144이므로 양변을 9/4로 나눠서 a값을 구할 수 있습니다 양변에 4/9를 곱해주면 좌변의 4/9와 9/4가 서로 약분되어서 좌변에는 a만 남습니다 우변을 계산해보면 144 ÷ 9 = 16이고 16 × 4 = 64가 됩니다 아까와 같은 답이 나왔습니다 이 방법이 조금 더 쉬운 것 같지만 표를 이용하는 방법이 더 좋을 것 같네요 표를 이용하면 공비를 사용하여 초깃값 h(0)을 더 빠르게 구할 수 있어요 공비 r의 값과 함수 h의 값 중 하나를 안다면 a의 값을 구할 수 있습니다 그리고 a의 값과 주어진 n에 대한 함숫값을 안다면 같은 방법으로 r을 구할 수 있습니다 끝났습니다