여러 단계로 푸는 부등식 (중등2학년)

지난 두 영상에서 배운 개념을 응용하는 문제를 몇 개 더 풀어보죠 4x 더하기 3이 -1보다 작다는 부등식이 있습니다 이것을 만족하는 x의 값을 모두 구해봅시다 가장 먼저 할 것은 3을 없애는 것입니다 그러므로 방정식의 양변에 3을 뺍니다 그러면 왼쪽에는 4x만 남게 됩니다 이것들은 지워집니다 그러면 0만 남게됩니다 지금은 부등호를 바꿀 필요가 없어요 우리는 양변에 더하기 빼기만 하고 있어요 이 상황에서는 빼는 것이고요 양변에서 같은 값을 빼는 이상 부등호는 바뀌지 않아요 -1 빼기 3이 있습니다 이것은 -4이죠 -1 빼기 3은 -4입니다 그리고 방정식의 양변을 4로 나누어 줍니다 이 방정식의 양변을 4로 나누어주면 다시 한 번, 부등식의 양변을 양수로 곱하거나 나눌 때 부등호는 바뀌지 않아요 그래서 좌변에는 x만 남습니다 x는 -4를 4로 나눈 -1 보다 작아요 그러니까 x는 -1 보다 작습니다 이 것을 구간 기호로도 표현할 수 있죠 모든 x의 값은 음의 무한대에서 -1 사이에 있지만 -1은 포함하지 않아요 그래서 여기에는 괄호를 씁니다 조금 더 어려운 문제를 풀어봅시다 5x가 8x+27 보다 크다고 합시다 모든 x들을 좌변으로 이항해 줍니다 가장 좋은 방법은 양변에 8x를 빼는 것입니다 양변에서 8x를 빼면 좌변은 5x-8x이 되죠 이는 -3x입니다 아직 부등호는 변하지 않습니다 양변에 같은 값을 더하거나 빼기만 했으니깐요 이 8x는 지워지고 27만 남습니다 -3x가 27보다 크다가 됩니다 이제 이것을 x로 바꾸기 위해서 양변을 -3으로 나눕니다 부등식의 양변을 음수로 곱하거나 나누면 부등호를 바꿔줘야 한다는 것을 기억하세요 그래서 양변을 -3으로 나누었을 때 부등호를 바꿔줘야 합니다 '더 크다'의 부등호에서 '더 작다'의 부등호가 되는 거죠 '더 크다'는 부등호를 기억하는 방법은 왼쪽이 더 커 보인다는 겁니다 이게 바로 '더 크다'입니다 이 높이를 상상해 보면 이 쪽 높이가 점일 뿐인 이 쪽의 높이보다 더 큽니다 이게 여러분을 헷갈리게 하는게 아닌지 모르겠네요 이게 '더 작다'는 부등호입니다 이 작은 점은 저 열린 쪽의 거리보다 작죠 이게 제가 외운 방법입니다 어쨌든, -3분의 3x의 양변을 음수인 -3으로 나눠줬으니 부등호의 방향을 바꿔줬어요 좌변에서 -3은 없어집니다 x는 -3분의 27 보다 작다, 즉 -9보다 작다가 됩니다 이것을 구간 기호로 표현하면 x는 음의 무한대와 -9 사이의 모든 값이 되는데 -9는 포함하지 않습니다 이를 수직선에서 표현하려면 이렇게 될 겁니다. 이건 -9가 되고, 이건 -8이 되고 이건 -10이 됩니다 -9에서 시작하는데 등호가 없으니까 -9는 포함하지 않고 이것보다 더 작은 쪽으로 계속 내려가서 보다시피 음의 무한대로 갑니다 더 괜찮고 흥미로운 문제를 풀어봅시다 8x - 5(4x+1)이 -1 + 2(4x-3) 보다 크거나 같다고 합시다 많이 복잡해보이지만 한 단계씩 간단히하면 지금까지 풀었던 문제보다 어렵지 않다는 것을 알게 될 겁니다 우선 간단히 해봅시다 8x - 5에서 -5를 분배합시다 8x, 그리고 -5를 분배해주면 -5 X 4x는 -20x입니다 여기에서 -5란 이 전부를 가리킵니다 -5X1은 -5가 되고, 이것은 2X4x인 8x 더하기 2X-3인 -6보다 크거나 같습니다 그래서 이제 이 두 항을 합할 수 있습니다 8x-20X는 -12x가 되고 -12x-5는 -1-6, 두 상수항을 합치면 -7이므로 남은 8x를 더해준 -7+8x보다 크거나 같습니다 이제 x를 다 좌변으로 이항해주려면 양변에서 8x를 뺍니다 8x를 빼면 좌변은 -12-8, 즉 -20이 남습니다 그래서 -20x-5가 됩니다 한 번 더 말하지만, 지금은 부등호를 바꿀 필요가 없어요 저희는 지금 방정식을 간단히 하거나 양변에 더하기 빼기만 하고 있으니깐요 우변은 8x-8x이므로 0이 되서 지워집니다 그래서 -7만 남죠 이제 -5를 없애려면 양변에 5를 더해줍니다 좌변에는 -20x만 남고 이 5는 지워집니다 지금은 부등호를 바꾸지 않아도 됩니다 -7+5는 -2입니다 지금이 바로 흥미로운 부분입니다 -20x가 -2보다 크거나 같다가 되었습니다 이것이 방정식이던 어떤 형식의 부등식이던 양변을 -20으로 나눠줍시다 하지만 부등식의 양변을 음수로 나누게 되면 부등호를 바꿔줘야 한다는 것을 기억하세요 꼭 기억하세요 좌변을 -20으로 나누고 우변도 -20으로 나누면 양변 다 -20으로 나눠줬으니 부등호를 바꿔줘야 합니다 크거나 같다는 작거나 같다로 바뀌어야 합니다 그리고 이것은 지워져서 양수가 되고 x는 20분의 2, 즉 10분의 1보다 작거나 같다가 됩니다 이것을 구간 기호로 표현하면 큰 쪽에 10분의 1이 있습니다 이때 등호가 있어 포함한다는 것에 주의해야 합니다 작거나 같으니까 10분의 1을 포함하고 계속 낮아져서 음의 무한대까지, 즉 10분의 1보다 작거나 같은 모든 값을 포함합니다 그냥 같은 것을 다른 말로 표현한 것입니다 그리고 수직선도 그려봅시다 여기에 수직선을 그려봅시다 이것이 0이라고 하면, 이것이 1입니다 그럼 10분의 1이 여기쯤 있을 겁니다 10분의 1보다 작거나 같은 모든 값이니까 10분의 1을 포함해서 그보다 작은 모든 값은 해가 되는 것입니다 그러므로 10분의 1보다 작은 모든 값을 이 부등식의 해라고 할 수 있습니다