기하학적 증명 문제: 합동인 변들

한 도형이 주어져 있습니다. 선분AB와 선분AC의 길이가 같다는 것이 주어져 있습니다. 선분AB는 이 변 전체를 나타내고 이 변의 길이는 여기 있는 반대쪽 변의 길이와 같습니다. 방금 그은 선이 반대쪽 변 전체입니다. 또, 각ABF가 각ACE와 합동이라는 것도 주어져 있습니다. 두 각의 크기가 같다는 것이나 합동이기에 같은 크기를 갖고 있다고 해석할 수 있습니다. 그래서 각 ACE와 합동이며 여기있는 이 각은 저기 있는 저 각과 합동입니다. 아니면 두 각의 크기가 같다고 할 수 있죠. 가장 먼저 이 도형에서 증명할 것은 선분 BF가, 선분 CE와 같은 길이를 가지고 있는지 입니다. 선분BF와 선분CE는 같은 길이인지. 시작해보죠. 우리는 이미 몇몇 알고 있는 정보들이 있습니다. 2단 증명으로 문제를 풀게요. 학교에서 2단 증명을 배울 수 있어서 형식적으로 어떻게 하는지 배워봅시다. 여기에는 증명의 과정을 쓰고요, 여기에는 과정에 대한 이유를 적습니다. 자 그럼 형식을 갖추어 다시한번 써봅시다. 선분 AB와 선분AC가 같다는건 주어져있죠, 첫번째 과정이고요,(주어진 정보는 GIVEN) 두 번째 과정은 각 ABF가 각 ACE와 합동이라는 것입니다. 이것도 첫 조건처럼 주어진 것이죠. 여기서 눈여겨 볼 점은 우리는 삼각형의 각 변과 각을 알고 있습니다. 우리가 볼 수 있는것은 두 삼각형에서, 여기서 두 삼각형은 삼각형 ABF 와 삼각형 ACE 입니다. 서로 공통으로 꼭짓점 A를 가지고 있습니다. 그래서 각 A에 있는 각 BAF는 각 BAF와 같다고 할 수 있고요 각 CAE라고도 표현합니다. 조금더 명쾌해 졌습니다. 서로 다른 두 삼각형을 다루고 있으나 두 각은 같은 각입니다. 각BAF=각BAF 이렇게 같고요, 증명의 3번째 과정입니다. 또 명백하게 이것은 재귀용법이라고 불립니다. 명백하게 이 각은 하나로 같습니다. 그래서 이것은 명백하게 재귀용법으로 사용되고요 재귀용법으로 자기자신은 자기자신과 같습니다. 다른 이름을 붙여도 그각의 크기는 다르지 않습니다. 여기서 흥미로운점은 삼각형에서 각, 변, 그리고 각에 대한 정보를 얻었습니다. 따라서 각-변-각을 모두 알고있어 삼각형 BAF와 , (여기 공간이 부족하네요) 다시, 삼각형 BAF는 (파란색으로 표시했습니다) BAF는 여기있는 삼각형이죠. 이런 문제의 함정은 직각삼각형이라고 생각할 수 있다는 거죠. 여기 있는 흰색 각에서 시작하여 아까 주어진 변과 재귀용법으로 알아낸 각이 B..어 여기서 여기의 각 BAC와 각 BAC는 같고 선분 AB는 AC와 같고(주어짐) 명시되어 있지 않은 각으로 갑니다 따라서 삼각형 BAF은 이제 이제 여기 있는 다른 삼각형인 흰색각에서 시작하여 주황색 각으로 갔다가 명시되지 않은 각으로 이동해 이제 삼각형은 삼각형CAF와 합동입니다. 조금 복잡하게 그렸지만 증명하고자 하는건 두 삼각형이 합동이라는 것입니다. 아 죄송해요, CAF가 아니고 CAE군요. 삼각형 BAF는 삼각형 CAE와 합동입니다. 흰색각, 주황색각, 그리고 명시되어 있지 않은 한 각이 이것이 이제 ASA합동을 바로 증명시키죠 주어진 변 하나와 두 각 과정 3개로 증명했습니다. 그래서 합동인 부분에서 합동인 도형에서 각각 대변은 합동이라는 것을 알고 있기에 5번째 과정은 (예쁘게 쓰겠습니다) 5번째 과정은 선분 BF는 선분 CE와 합동이다 입니다. 선분 BF는 선분 CE와 합동이다. 그리고 4번째 과정에서 합동인 도형에서 각각 부분은 서로 합동이다 라고 쓸 수 있습니다. 다른 도형도 한번 살펴봅시다. 한번 선분ED가 선분EF와 합동인지 증명해 봅시다. 이 증명 밑에 선분 ED가 선분 EF와 합동인지 증명합시다. 아직 안했으니 물음표를 표시할게요. 우리는 여기 있는 선분 ED가 아 죄송해요, EF 가 아니라 DF 군요. 이것을 증명해 봅시다. 여기서 흥미로운 점은 처음엔 별로 명백하지 않아도 합동임을 발견하게 될 텐데 우리는 몇가지 정보를 발견하고 예를 들어 삼각형 BAF는 삼각형 CAE과 합동이라던지, 우린 또 여기 이변이 사용하지 않은 색으로 표시할게요, 너무 많은 색을 사용해서...음.... 그래서 우리는 우리는 그 합동에서 변 AE, 변 AE, 삼각형 CAE중의 일부인 변 AE는 변 AF와 합동인 걸 압니다. 이 두변은 합동이고요, 그 이유는 합동인 삼각형의 대응변이기 떄문입니다. 선분 AF는 삼각형 BAF에서 흰색 각의 대변이고 선분 AE는 삼각형 CAE에서 흰색각의 대변입니다. 합동이죠. 따라서 선분 AE는 선분 AF와 합동입니다 과정 4에서 알 수있고요, 합동인 도형에서 대응하는 부분은 합동이기 떄문입니다. 위의 과정과 비슷합니다. 흥미로운것은, 이것은 삼각형도 아니지만 이 두변이 합동이라는 정보는 다른 이 부분에 도움을 줍니다. 왜냐하면 우리는 변 AB는 변 AC와 같은 것을 알고 있는데, 이 정보는 주어진 정보죠, 그래서 우리는 여기에 쓸게요, 좀 지저분하네요 좀 깨끗하게 쓸게요. 7번째 과정 쓰겠습니다. 우리는 선분BE가 선분CF와 합동임을 알 수 있습니다. 적어 둘게요. 그럼, 어떻게 알 수 있을까요? 지금까지 한 걸 정리하고 합시다. 2단이 조금씩 옆으로 치우치고 있네요. 그럼, 선분 BE가 선분 CF와 합동이라는 것을 어떻게 알 수 있을까요? 우리는 선분 BE의 길이가 선분BA-선분AE 임을 알고 있습니다. 선분AB-선분AE죠, 이렇게 썼습니다. 선분AB-선분AE는 이전의 과정들로 선분BE와 같죠. 선분AC-선분AF와도 같습니다. 선분 AB는 AC와 같기 때문에 AE도 AF와 같은 길이이죠. 선분AC-선분AF는 선분CF와 같죠. 선분CF와 같습니다. 과정 1과 과정 5, 그리고 과정 6으로 아, 과정 5가 아닌 6입니다. 과정 1와 6이 필요합니다. 네, 과정 1과 6입니다. 자, 이변은 저 변과 합동이고 이부분은 저 부분과 합동이기에 큰 부분에서 작은 부분을 가감해주면 여기 이 부분이 저기 저 부분과 일치합니다. 우리가 보이려는 전부이죠. 이 노란변이 반대쪽 이 노란변과 합동입니다. 자, 또 다른 정보는 이 맞꼭지각이, 각 EDB는 각FDC와 같다는 것입니다. 다시 적어드릴게요. 8번째, 우리는 각EDB가 각FDC와 같음을 알고 있습니다. 맞꼭지각이 이유입니다. 맞꼭지각은 서로 합동입니다. 자 그리고 또 흥미로운 사실이 있습니다. 우리는 주황색각, 흰색각, 그리고 변을 압니다. 이 두 작은 삼각형은 합동인 것입니다. (도형 보이게 창 이동중) 우리는 삼각형 BED가 즉 9번째 과정, 삼각형 BED가 BED는 이 각이고요, 삼각형 BED가 우리는 같은변을 사용하고 흰색각, 노란색변, 그리고 주황색 각으로 흰색변, (여기서 조심하고요,) B는 흰색변이고요, E는 명시되지 않은각, 그리고D는 명시된 주황색 각도입니다. C는 명시되지 않은 주황색 각이고요. 그래서 삼각형 CFD, 다시 말해서 주황색각, 흰색각, 변으로 AAS 합동입니다. 주황색각, 흰색각, 변입니다. AAS 합동이게 되는것이죠. 이 두 삼각형의 합동을 보였으니 대응하는 부분의 합동을 알아봅시다. 최종단계입니다. 우리는 이제 두 삼각형이 합동인 것을 알고 있습니다. 선분ED는 선분DF와 합동이죠. 대응되는 변이기에 선분ED는 선분DF와 합동입니다. 이유는 위와 같이 대응되는 부분, 9번째 과정에서 합동에 따라 대응되는 부분은 합동입니다! 끝났네요. 여러가지가 포함된 문제입니다. 하지만 과정과정 밟아나가면 모든 삼각형에 대한 어떤 정보라도 찾아나가다 보면 결국은 알게 됩니다. 어려운 부분은 어떤 정의를 사용해야 하고 어떻게 적용해야 하나 이지만 삼각형을 보면서 어떤 정보를 인식하고 선분 BE를 선분AB-선분AE를 통해 알고 두개의 삼각형이 곂쳐있다는 것 같은것들 팔 없는 별?이라고 생각하는것 처럼요.