삼각형의 중선이 한 점에서 교차하는 것 증명하기

이번 동영상의 목적은 삼각형의 세 중선은 항상 한 점에서 교차함을 증명하는 것입니다 흥미롭네요 기울기가 다른 두 선은 한 점에서 만나겠지만 세개의 선이 한 점에서 교차하는 건 꽤 흥미롭습니다 그리고 이는 모든 삼각형에서 참입니다 증명을 준비하기 위해 임의의 삼각형을 만들어 놓고 한 꼭짓점을 원점에 두었습니다 계산하기 쉽도록요 그리고 다른 꼭짓점은 x축 위에 두고 그리고 좌표를 적어놓았습니다 여기 이건 (0, 0)이고 이건 x좌표가 a이므로 (a, 0)입니다 여기 이건 임의의 x축과 y축입니다 b와 c라고 부르죠 이건 임의의 삼각형인데 이것과 크기가 같은 삼각형이 있다면 이것과 크기가 같은 삼각형이 있다면 참고로 a,b,c 를 정의하지 않았기 때문에 어떤 크기라도 될 수 있는데 강체변환을 이용해 이 삼각형에서 다른 위치의 삼각형으로 변환할 수 있습니다 따라서 이 일반적인 삼각형의 중선들이 한 점에서 교차함을 증명하면 이는 모든 삼각형에 대해 참입니다 그러면 더 해 봅시다 중선을 그려보죠 각 꼭짓점에서 대변의 중점까지 각 꼭짓점에서 대변의 중점까지 선을 이어 봅시다 그러면 중선을 다 그리게 되고 확실히 한 점에서 교차하는 것처럼 보이네요 하지만 증명을 하려면 각 변의 중점의 좌표를 생각해 봅시다 각 변의 중점의 좌표를 생각해 봅시다 이것의 좌표는 무엇일까요? 동영상을 멈추고 생각해 보세요 이건 상단의 점과 오른쪽 아래 점의 중간입니다 이건 상단의 점과 오른쪽 아래 점의 중간입니다 이 길이와 이 길이가 같습니다 그리고 중점은 각 좌표의 평균이라 생각하면 됩니다 그리고 중점은 각 좌표의 평균이라 생각하면 됩니다 따라서 x좌표는 b와 a의 평균입니다 이는 (a + b)/2라고 쓸 수 있고 y좌표는 c와 0의 평균입니다 y좌표는 c와 0의 평균입니다 이는 (c + 0)/2 또는 c/2입니다 이는 (c + 0)/2 또는 c/2입니다 이 점은 x좌표가 0과 a의 평균 그러니까 a/2이고 y좌표는 0과 0의 평균입니다 그리고 x축 위에 있으니 y좌표는 0이고요 마지막으로 이 점의 좌표는 무엇인가요? 동영상을 멈추고 구해 보세요 좋습니다 x좌표는 b와 0의 평균으로 b/2입니다 y좌표는 c와 0의 평균으로 c/0입니다 이 세 중선이 유일한 점에서 교차함을 증명하는 방법은 세 선 모두 위에 있는 좌표를 찾는 것입니다 세 선 모두 위에 있는 좌표를 찾는 것입니다 세 개의 선 모두 위에 있다면 그게 바로 교점이어야 합니다 그리고 그 점은 모든 중점에서 2/3 떨어져 있습니다 이렇게 생각해 볼 수 있습니다 꼭짓점과 이 점의 거리는 중점까지의 거리의 2/3입니다 이 파란색 중선을 보면 이점의 좌표는 꼭짓점까지가 대변까지보다 두 배 더 길고 이점의 좌표는 꼭짓점까지가 대변까지보다 두 배 더 길고 x와 y좌표의 가중평균에 기반합니다 x와 y좌표의 가중평균에 기반합니다 중점을 구하며 둘이 같은 거리라면 좌표에 가중치가 없는 평균이 기반합니다 그냥 평균을 구하면 되는 것이죠 하지만 이 변과 더 가까우면 그에 맞게 가중평균을 구하게 됩니다 따라서 이것은 2/3 · (a + b)/2 + 1/3 · 0이고 따라서 이것은 2/3 · (a + b)/2 + 1/3 · 0이고 y좌표는 2/3 · c/2 + 1/3 · 0입니다 y좌표는 2/3 · c/2 + 1/3 · 0입니다 y좌표는 2/3 · c/2 + 1/3 · 0입니다 다시 가중치 2/3와 1/3은 왜 있을까요? 다시 가중치 2/3와 1/3은 왜 있을까요? 이 점보다 이 점까지가 두 배 더 멀기 때문입니다 이 점보다 이 점까지가 두 배 더 멀기 때문입니다 간단히 하면 어떻게 될까요? 여기 2는 여기 2와 상쇄됩니다 이건 0니까 x좌표는 (a + b)/3이고 y좌표로는 이게 0이 되고 여기 2가 상쇄되니까 c/3이 됩니다 확실히 파란색 중선 위에 있는 점을 찾았습니다 확실히 파란색 중선 위에 있는 점을 찾았습니다 이제 분홍색 중선에도 그렇게 해 봅시다 이제 분홍색 중선에도 그렇게 해 봅시다 분홍색 중선 위에 있고 분홍색 중선 위에 있고 꼭짓점까지가 대변까지보다 두 배 더 먼 점은 무엇일까요? 똑같이 하면 됩니다 이 좌표들에 두 배의 가중치를 주면 되죠 따라서 x좌표는 2/3 · b/2 + 1/3 · a입니다 그리고 y좌표는 2/3 · c/2 + 1/3 · 0입니다 그리고 y좌표는 2/3 · c/2 + 1/3 · 0입니다 그리고 y좌표는 2/3 · c/2 + 1/3 · 0입니다 간단히 하면 봅시다 이 둘은 상쇄되고 b/3 + a/3가 남습니다 (a + b)/3와 같고 여기 이건 0이고 이건 상쇄되니까 c/3입니다 똑같은 좌표가 파란색 중선과 분홍색 중선 둘 모두 위에 있는 것을 볼 수 있습니다 따라서 둘은 여기에서 교차해야 하겠네요 주황색 중선도 그런지 확인해 봅시다 주황색 중선에도 똑같이 해보죠 동영상을 멈추고 점을 스스로 계산해 보세요 주황색 선 위에 이 길이가 이 길이의 두 배인 좌표는 무엇일까요? 똑같습니다 이 점들에 두 배의 가중치를 두면 됩니다 따라서 x좌표는 2/3 · a/2 + 1/3 · b입니다 y축은 2/3 · 0 + 1/3 · c입니다 y축은 2/3 · 0 + 1/3 · c입니다 어떤 값이 나올까요? 이 둘은 상쇄되고 a/3 + b/3가 남습니다 이는 (a + b)/3와 같죠 그리고 이건 0이니 c/3가 남습니다 세 중점 모두 좌표가 같음을 알 수 있습니다 세 중점 모두 좌표가 같음을 알 수 있습니다 따라서 세 중점 모두 이 점에서 교차해야 합니다 이 점은 모든 선 위에 존재하기 때문입니다 방금 구해보았듯이요 그리고 이는 모든 임의의 삼각형에 대해 참입니다 a, b, c의 값을 바꾸어 크기와 모양이 다른 삼각형을 만들 수 있습니다 그리고 크기와 모양은 같지만 위치가 다르거나 방향이 다르면 크기와 모양을 바꾸지 않는 강체변환을 사용하면 됩니다 크기와 모양을 바꾸지 않는 강체변환을 사용하면 됩니다 그러면 그 삼각형에서도 이것이 참임을 보일 수 있습니다