심화 문제: 두 원 위의 점

점A는 (-5, 5)에 위치합니다 그래서 여기가 -5입니다 그리고 바로 저기가 5입니다 따라서 점A는 이 쯤에 위치합니다 이 점이 점A 이고, (-5, 5)에 위치하죠 그리고 이 점은 원A의 중심입니다 아직 원의 반지름을 알지 못해서 원A를 그리지 않았습니다 점B는 , 적당한 색깔로 밑줄을 그을게요. 점B는 (3, 1)에 위치합니다 (3, 1) 그래서 저기 있는 점이 점B입니다 원B의 중심이죠 점P는 (0, 0)에 위치합니다 그래서 원점에 위치한답니다 그리고 이 점은 원A와 원B 위에 있습니다 이 말은 꽤 중요한 정보예요 왜냐하면 이 말은 점P가 두 원 위에 있다면 이 거리가 원B의 반지름인거죠 중심B로부터 원 위의 한 점까지의 거리니까요 그리고 이 거리가 원A의 반지름입니다 중심인 점A에서부터 원 위의 한 점까지의 거리입니다 자, 그러면 이 실제 반지름들의 값을 알아봅시다 한 번 상상해 볼 수 있겠죠, 원A의 반지름을 그려보겠습니다 이제 우리는 점P가 이 곳에 위치한다는 것을 알기 때문에 이 거리가 원A의 반지름이 되겠죠. 그리고 여러분은 거리를 구하는 공식을 쓸 수 있지만, 거리를 구하는 공식은 피타고라스 정리에서 그대로 나온 것입니다. 거리를 구하는 공식은 이 반지름의 길이를 알려줍니다 여기 두 점 사이의 거리 말이죠 그래서 반지름 또는 이 두 점 사이의 거리를 제곱한 값은 점A와 P사이 x값의 변화량과 같습니다 x값의 변화량은, (-5-0)을 제곱한 값으로 쓸 수 있습니다 (-5-0)을 제곱한 값이 바로 x의 변화량입니다 여기에 y의 변화량인 (5-0)을 제곱한 값을 더하면 두 점 사이의 거리를 구할 수 있죠 즉, 반지름을 제곱한 값의 길이를 말입니다 이 값은 (-5)를 제곱한 값에 5를 제곱한 값을 더한 것과 같습니다 아니면 반지름을 이렇게 말할수도 있죠, 25와 25를 더한 값인 50의 양의 제곱근과 같다고 말이에요 50은 25 곱하기 2로 적을 수 있습니다 그래서 이 값은 √25 x √2 즉, 5 x √2와 같습니다 그래서 이 거리의 값은 5 x √2 = 5√2 입니다 자, 그러면 제가 이 과정이 피타고라스 정리와 같다고 말했었죠 왜일까요? 여기에 직각삼각형을 그려보면 이 거리를 볼 수 있겠죠 이 거리는 (-5-0)의 절대값이 됩니다 아니면 0 - (-5) 라고 할 수도 있죠 그래서 이 거리는 5입니다 이 거리는 y 방향에서 0과 5사이의 거리입니다 이 값은 5입니다 피타고라스 정리는 5의 제곱, 즉 25에 5의 제곱인 또 다른 25를 더한 값이 직각삼각형의 빗변을 제곱한 값과 같다고 말하죠 바로 우리가 적어놓은 값이죠 여러분은 아마 "잠깐만요! 이 값은 -5를 제곱한 값인데 여기에서는 +5 잖아요" 라고 말할 수도 있어요 이렇게 할 수 있는 이유는 음수를 제곱하면 음의 부호가 사라지기 때문이죠 여러분은 거리를 구하는 공식을 이렇게 쓸 수 있어요 여기에 절대값을 씌우면 이게 그저 피타고라스 정리라는 것을 확실히 볼 수 있어요 이 값은 5^2 + 5^2이 됩니다 5의 제곱 더하기 5의 제곱 말이에요 절대값을 씌우지 않아도 되는 이유는 제곱하면 부호는 상관 없기 때문이죠 항상 양수인 값이 나옵니다 어떤 방법이든, 우리는 반지름을 알아냈습니다 자, 그러면 원B의 반지름을 알아봅시다 같은 방법으로요 원B의 반지름을 제곱한 값은 x의 변화량과 같습니다 그래서 (3-0) 또는 (0-3)으로 적을 수 있죠 (3-0)으로 적어봅시다 (3-0)을 제곱한 값에 (1-0)을 제곱한 값을 더합니다 아니면 반지름 또는 이 두 점 사이의 거리는 제곱근 값인데, 3^2 + 1^2 은 9 + 1입니다 그래서 이 값은 √10입니다 원B의 반지름 값은 √10입니다 우리가 풀어야 할 문제는 점C, 점D, 점E 중 어떤 점들이 원A, 원B, 또는 두 원 위에 있는지 알아내는 것입니다 우선 여기에 있는 점들을 보세요 만약 이 점이 점B로부터 √10만큼 떨어져 있다면 이 점은 원 위에 있죠. 반지름만큼 떨어져 있답니다. 원은 중심으로부터 반지름만큼 떨어져있는 점들의 자취입니다 만약 이 점으로부터 5√2만큼 떨어져 있다면 이 점은 원A 위에 있습니다 두 원 위에 있지 않을 수도 있습니다 아니면 둘 다 될 수도 있죠 자, 그러면 차근차근 해봅시다 점C는 (4,-2)에 위치해 있습니다 다른 색깔로 칠해볼게요 점C는, 오렌지 색깔로 칠할게요 점C는 (4, -2)에 위치합니다 바로 여기 점C가 있습니다 자, 꽤 가까워 보이는데요 손으로 그렸기 때문에, 완벽하지는 않죠 점C는 이 곳에 위치합니다 꽤 가까워 보이죠 하지만 실제로 그런지 확인해봅시다 점C와 점D사이의 거리는 즉, 거리를 제곱한 값은 x의 변화량과 같습니다 점 C와 점 B사이의 거리를 제곱한 값은 (4-3)의 제곱 더하기 (-2-1)의 제곱과 같은데, 1의 제곱 더하기 -3의 제곱과 같습니다 그래서 거리를 제곱한 값은 10입니다 또는 거리의 값은 제곱근 10입니다 그래서, 이 거리값은 제곱근 10이 됩니다 따라서 이 점은 원 위에 있습니다 원B를 그려보면, 대략 이런 모양이 되겠죠 그리고 다시 한 번 말하지만, 손으로 그려서 완벽하지 않아요 원의 부분을 그려보면, 이런 모양이 될 거예요 정확히 반지름만큼 떨어져 있습니다 이 점은 원B 위에 있다고 적을게요 그러면, 이 점을 보세요 점(5, 3) 분홍색으로 할게요 (5, 3) 가까워 보이지만, 혹시 모르니 확인해봅시다 자, 그래서 이 거리는, 이렇게 적을게요 거리를 제곱한 값은 x의 변화량을 제곱한 값이 됩니다 (5-3) 의 제곱 더하기 y의 변화량인 (3-1)의 제곱을 더하면 되죠 그래서 거리는, 사실 많은 단계를 건너뛰고 싶지는 않네요 2^2 = 4 더하기 또다른 2^2 = 4를 더한 값입니다 그래서 거리는 √8이 됩니다 √(2 x 4)와 같은 값이죠 또, 2√2와 같습니다 √4는 2입니다 그러면, 자연스럽게, 2가 근호 안에 남게 되죠 그래서 이 거리는 √10과 다른 값입니다 따라서 점D는 절대로 원B 위에 있지 않습니다 눈대중으로 보면, 이 점이 원A 위에 있지 않다는 것을 알 수 있습니다 눈으로 대강 봐도, 이 점은 5√2보다 훨씬 멀리 있습니다 점C 역시 그렇죠. 점C도 5√2보다 훨씬 멀리 있습니다 그저 눈으로만 봐도 알 수 있죠 이 점들은 점A로부터 반지름보다 훨씬 멀리 떨어져 있습니다 그래서 점D는 두 원 중 어떤 것 위에도 있지 않습니다 어떤 원 위에도 있지 않죠 그러면 마지막으로 점 (-2,8)을 봅시다 다른 색깔이 안 보이는군요 노란색을 다시 쓰도록 하죠 점(-2,8) 이 점은 (-2,8) 여기에 위치하네요 이 점이 점E입니다 눈대중으로 보세요 거리가 보기에도 명백하게 너무 멀죠 그냥 눈으로 보세요 점B로부터 반지름보다 더 멀리 떨어져 있습니다 그래서 이 점은 점B 위에 있지 않겠네요 그리고, 이 점은 점A와 더 가까이에 있는 것처럼 보이네요 점P만큼 가까이 있는 것처럼 보이지는 않지만요 살펴보니, 이 점은 어떤 원 위에도 있지 않을 것 같습니다 하지만 우리는 원한다면 확인해볼 수 있습니다 이 두 점 사이의 거리를 찾을 수 있죠 거리를 제곱한 값은 x의 변화량이겠죠 { (-2) - (-5) }의 제곱에 y의 변화량을 더합시다 이 값은 (8-5)의 제곱입니다 그래서 거리의 제곱은 { (-2) - (-5) }, 즉 (-2+5) 3^2 + 3^2 이 됩니다 그리고 여러분은 이 과정에서 피타고라스 정리를 볼 수 있습니다 이 거리는 3입니다 이 거리, 방금 거리 3은 x의 변화량이고요 y의 변화량은 3입니다 3의 제곱 더하기 3의 제곱은 이 거리를 제곱한 값인데, 즉 빗변을 제곱한 값이죠 그래서 거리를 제곱하면, 몇 단계를 생략해 거리는, √(9 x 2) 또는 3√2가 됩니다 원A의 반지름의 길이는 5√2입니다 3√2가 아니죠 그래서 이 점은 원 안에 위치합니다 원A를 그려보면, 대략 이런 모양이 됩니다 그리고 점E는 안에 있죠 점D와 점C는 원A의 바깥쪽에 위치합니다 그래서, 점C만 두 원 중 한 원 위에 위치하게 됩니다