대수학의 묘미

대수학의 본론에 들어가기에 앞서 인류 역사에서 가장 위대한 사람 중의 한 명인 갈릴레오 갈릴레이의 말을 전하고 싶습니다 이 말이 수학 전반 및 대수학의 핵심을 담고 있기 때문입니다 갈릴레이는 다음과 같이 말했습니다 "철학은 눈 앞에 놓여있는 위대한 책에 쓰여져 있습니다" "바로 우주 말입니다" "하지만 우리는 책에 쓰여있는 언어를 배우고 기호를 이해해야지만 내용을 이해할 수 있습니다" "이 책은 어둠의 미로에서 헤맬 필요가 없도록 수학적 언어로 쓰여져 있습니다" 다소 극적이긴 하지만 갈릴레오의 말은 수학에 대한 깊은 통찰을 담고 있습니다 대수학에 점점 더 깊게 파고들수록 대상을 추상화 시켜나갑니다 우주가 어떻게 구조화 되어 있는지에 대한 핵심 아이디어를 구축해 나갈 수 있을 것입니다 물론 이러한 아이디어를 경제,금융,물리,화학 등의 분야에 적용할 수 있습니다 그 중심에는 동일한 아이디어가 존재합니다 그 어떤 응용 학문보다 근원적이고 순수한 학문인 수학이지요 관련 내용을 더 자세히 설명하기 위해서 수학에 담겨있는 위대한 우주 철학을 설명해보겠습니다 간단한 수학 문제부터 시작하겠습니다 하지만 계속 추상화시키는 작업을 통해 동일한 아이디어가 어떻게 삶의 여러 영역에 걸쳐 적용될 수 있는지 살펴볼 것입니다 우리가 상점에 있다고 가정해봅시다 이 곳에서 할인하는 상품을 사려고 합니다 30%를 할인한다고 되어 있군요 무엇을 살까요? 바지 한 벌에 관심이 있다고 해봅시다 세일을 하기 전 바지의 가격은 20달러였습니다 제가 바지를 살 때 지불해야할 돈이지요 하지만 여기서 중요한 것은 이 바지를 30% 할인 받을 수 있다는 점입니다 그렇다면 얼마나 할인 받을 수 있을까요? 여기까진 아직 대수학이 아닙니다 단지 여러분이 일상생활에서 자주 겪게 되는 상황일 뿐입니다 20달러에 30%를 곱하여 할인금액을 구할 것입니다 따라서 할인금액 = 30% × $20 라고 쓸 수 있습니다 보라색으로 20달러를 써보겠습니다 백분율을 소수로 나타내면 할인금액 = 0.30 × $20 가 됩니다 계산을 해보면 6달러를 얻을 수 있습니다 지금까지 아무것도 새로울 것이 없습니다 그러나 지금까지의 풀이과정을 일반화 해본다면 어떨까요? 특정 바지에 대한 할인율이 있습니다 그런데 만약 상점에 있는 임의의 상품에 대한 할인금액을 알고 싶다면 어떻게 해야 할까요? 그렇다면 이렇게 표현해볼 수 있습니다 x = 상품의 가격이라고 둘게요 x는 상품의 가격을 나타내는 상징쯤으로 생각하면 됩니다 x를 제가 사고 싶은 상품의 가격이라고 두겠습니다 상점에서 파는 상품의 할인 전 가격을 의미합니다 그러면 이제 할인금액 = 30% 곱하기 x 라고 말할 수 있습니다 소수로 표현하고 싶다면 30%를 소수로 나타내면 됩니다 할인금액 = 0.30 × X라고 말이지요 흥미롭네요 상점 안에 있는 어떤 상품이든 그 가격을 x로 대체할 수 있습니다 다음으로 x에 0.3만 곱하면 할인금액을 구할 수 있습니다 우리는 이렇게 매우 천천히 대수학의 추상 속으로 들어가고 있는 것입니다 대수학을 더욱 많이 공부할수록 대수학의 미묘하고 깊이있으면서 아름다운 세계에 빠져듭니다 아직 끝나지 않았습니다 방금의 풀이과정을 조금 더 추상화해보도록 하겠습니다 앞서 이야기했듯이 임의의 상품에 대해서 할인금액을 계산할 수 있도록 일반화했습니다 20달러짜리 바지 뿐 아니라 10달러짜리 상품이 주어지면 x 자리에 10달러를 대입하면 됩니다 그렇다면 0.30 × 10이 되겠지요 따라서 할인금액은 3달러가 됩니다 만약 100달러짜리 상품이라면 할인 금액은 30달러가 됩니다 더 일반화 해봅시다 특정 할인율에 대하여 할인되는 금액은 얼마인가? 라는 문제가 있다고 해봅시다 이제 할인금액을 구하는 식을 세워봅시다 미지수를 정의해보도록 하지요 p = 할인율 이라고 두겠습니다 다음으로 무엇을 해야할까요? 할인금액은 할인율에 따라 달라집니다 첫번째 예에서는 30%를 할인했습니다 하지만 이제 식에 30% 대신 p를 쓸 수 있습니다 할인금액 = 할인율 × 할인전 상품의 금액 이므로 x = 할인전 상품의 금액 p = 할인율일 때 할인금액 = p × x 와 같습니다 이제 임의의 할인율 임의의 상품이 주어져도 할인금액을 계산할 수 있는 보편적인 방법을 알게 되었습니다 참고로 미지수를 둘 때 꼭 다음과 같은 문자를 써야하는 것은 아닙니다 y = 할인금액 이라고 두겠습니다 이제 우리는 할인금액이라는 단어 대신에 y를 사용하여 y = p × x 라고 쓸 수 있습니다 다시 한 번 말하면 어떤 문자를 쓰든 상관없습니다 y를 쓰는 대신에 그리스 문자를 써도 됩니다 이 기호가 할인금액을 나타낸다는 것만 잊지 않으면 됩니다 이제 정말 흥미로워졌습니다 방정식의 개념을 사용할 수 있게 되었기 때문입니다 y를 우변의 식과 동일하다고 식을 세웠기 때문에 방정식(미지수를 포함한 등식) 이라고 할 수 있습니다 방정식은 상점에서의 할인 금액 뿐만 아니라 다른 상황에도 무한하게 적용할 수 있습니다 아마도 여러분은 앞으로 물리를 공부하면서 힘 = 질량 × 가속도 라는 식을 보게 될 것입니다 기호는 각각 다르지만 근본적으로 같은 아이디어입니다 y = 힘, p = 질량 x = 가속도로 바꾸면 말이지요 설명하기 위해 물리에서 일반적으로 쓰는 문자와는 다른 문자를 썼습니다 똑같은 개념과 관계가 서로 다른 두 가지 분야에 적용되었다는 것을 강조하고 싶습니다 y=px (y = 힘, p = 질량, x = 가속도)는 물리에서 매우 유명한 식인 f=ma로 다시 쓸 수 있습니다 어떤 문자를 가지고 나타냈느냐에 상관없이 두 식은 똑같은 의미를 가지고 있습니다 y=px (y = 힘, p = 질량, x = 가속도) 이 두 식은 정확하게 일치하는 방정식입니다 우리는 이 공식을 경제는 물론 금융에도 적용할 수 있습니다 그 밖에 컴퓨터공학 전자공학 등 이 공식을 적용할 수 있는 분야는 무궁무진합니다 수학을 연구할 때 좋은 점 특히 대수학에 있어서 좋은 점은 추상화 작업에 집중할 수 있다는 점입니다 또한 추상화한 결과를 응용할 수도 있습니다 응용하면서 발견한 아이디어를 다시 다른 분야에 적용할 수도 있고요 아주 다양한 분야에 말입니다 수학이 더욱 멋진 이유는 인간이 정의하고 응용한 것들을 모두 없애면 우주의 진정한 구조를 이해할 수 있게 된다는 점에 있습니다 예를 들어보겠습니다 y = px일 때 누군가가 "이건 y야"라고 말합니다 그리고 그 사람의 반대편 손에 "여기 px가 있어"라고 말합니다 저는 " 당신은 양쪽 손에 같은 것을 가지고 있군요" 라고 말할 수 있습니다 만약 한 쪽을 어떤 수로 나눠야 하고 여전히 양쪽 손에 있는 두 값이 서로 같길 원한다면 똑같은 수로 양변을 동시에 나눠주면 됩니다 예를 들어 y=px일 때 등호는 유지한 상태로 y를 x로 나눈 값은 얼마일까? 라는 질문을 받았다고 합시다 y=px 이므로 y ÷ x = px ÷ x일 것입니다 라고 말할 수 있습니다 이 부분이 매우 재밌습니다 왜나하면 p × x ÷ x는 곱한 것을 다시 나누는 것이기 때문입니다 따라서 결과는 원래의 수가 될 것입니다 만약 5를 곱하고 다시 5로 나누면 p 즉, 원래의 수가 됩니다 5끼리 만나서 소거되는 것입니다 이제 추상적인 개념을 응용해서 y / x = p임을 알았습니다 이 식은 여러가지 함축적인 개념을 담고 있습니다 이는 거의 적용되지 않는 우주에 대한 근본적인 진리도 담고 있습니다 하지만 이 개념은 언제든지 적용하고 싶은 분야에 가져다 놓을 수 있습니다 흥미로운 점은 적용할 수 있는 분야가 무한하다는 것입니다 우리가 잘 알지도 못하는 분야까지도 말입니다 앞으로도 새로운 분야를 계속 개척해나갈 것입니다 오늘 내용이 갈릴레오가 한 말을 이해하는 데 도움이 되면 좋겠습니다 수학이 우주에 담긴 철학을 이해할 수 있는 언어라고 말한 부분 말입니다 만약 외계 생명체가 인간에게 연락한다면 수학만이 인간과 외계인 사이에서 공통적으로 무언가를 시작할 수 있는 장을 열어줄 것입니다 또한 서로 의사소통할 수 있는 가장 보편적인 언어가 될 수 있겠죠