증명: 평행사면형의 대각선

여기에 평행사변형이 있습니다. 대각선들이 서로를 이등분한다는 것을 증명하고자 합니다. 제일 먼저 생각해야 할 것은, 이들이 그냥 대각선들이 아니라는 것입니다. 이 선들은 평행한 선들을 지나는 선들입니다. 따라서, 이들을 횡단선으로 볼 수도 있습니다. 그리고 여기 DB에 집중하면, 이것이 DC 그리고 AB와 교차한다는 것을 알 수 있습니다 우리가 아는 것은 평행사변형입니다 이 선들이 평행하다는 것을 압니다. 이것은 평행사변형입니다. 엇각은 반드시 합동이어야 합니다. 따라서, 여기 있는 이 각은 저 각과 같아야 합니다. 여기 기호를 붙이도록 하겠습니다. 이것을 중점 E라고 부르겠습니다. 각 ABE는 각 CDE와 같아야 합니다. 평행한 선을 지나는 횡단선의 동위각에 의해 엇각 대각선 AC를 보면, 아니면 횡단선 AC를 보면 같은 주장을 할 수 있습니다. 이곳과 여기를 지나고 이 두 직선은 평행합니다 따라서, 동위각은 같아야 합니다 그래서 각 DEC는- 이것을 적도록 하겠습니다 각 DEC는 각 BAE와 합동이어야 합니다. 똑같은 이유로 인해 이제 흥미로운 것이 있습니다 이 위에 있는 삼각형과 이 밑에 있는 삼각형을 봅시다. 1쌍의 합동인 동위각이 있습니다 합동인 사이변 또한 있습니다 명쾌하게 내용을 적도록 하겠습니다. 전 비디오에서 이 내용을 이미 증명했습니다 평행사변형에서 대변들이 평행한것 뿐만 아니라 합동이라는 것을 이미 증명했습니다. 따라서, 저번 비디오에 따르면 이 변이 이 변과 합동이라는 것을 알 수 있습니다. 다시 본론으로 돌아가도록 하겠습니다. 2 쌍의 합동인 동위각이 있고 합동인 사이에 있는 변도 있습니다. 그리고 다른 한 쌍의 합동인 동위각이 있습니다. 따라서, 이 삼각형이 저 삼각형과 합동이라는 것을 알 수 있습니다. ASA 합동으로요 따라서, 이 삼각형이- 파란색으로부터 주황색을 거쳐 점으로 가겠습니다. 삼각형 ABE가 파란색, 주황색, 그리고 점- 삼각형 CDE와 ASA 합동을 통해 합동입니다. 이것이 무엇을 의미할까요 만약 두 삼각형이 합동이라면, 이 삼각형들의 모든 대응되는 것들이, 특히 모든 대응 변들이 합동이라는 것을 알 수 있습니다 따라서, 변 EC과 EA와 일치한다는 것을 알 수 있습니다. 아니면 변 AE가, 변 CE에 대응된다고 말할 수 있습니다. 이들은 합동인 삼각형의 대응되는 변입니다 따라서, 이들의 길이는 같아야 합니다 AE는 반드시 CE와 같아야 합니다 이미 하나의 사선을 여기 그렸으니 2개의 사선을 긋도록 하겠습니다 이것에 집중하겠습니다 BE는 반드시 DE와 같아야 합니다 다시 한번, 이 두 변은 합동인 두 삼각형의 대응변입니다 따라서, 이들은 같은 길이를 가져야 합니다 그러니까, 이것은 합동인 삼각형의 대응변들이고 BE는 DE와 같습니다 그리고 우리는 증명을 완료했습니다 대각선 DB가 AC를 이등분한다는 것을 보여주었습니다 그리고 반대도 같습니다 AC는 DB를 이등분합니다 따라서, 이들은 서로를 이등분합니다 이제, 다른 방향으로 접근해봅시다. 스스로에게 증명해봅시다 만약 사각형에서 서로를 이등분하는 2개의 대각선이 있다면 우리는 평행사변형을 다루고 있습니다 한 번 봅시다 두 대각선이 서로를 이등분한다고 가정해봅시다 그러니까, 우리는 이것이 이것과 같다는 것을 가정하고 여기 있는 이것이 이것과 같습니다 이것이 평행사변형이라는 사실을 증명해야합니다 그리고 이것을 하기 위해 스스로를 상기시켜야합니다 이 각이 이 각과 같을 것이라는 것을 기억하세요 가장 먼저 배울 수 있는 것들 중 하나인데요 이들이 맞꼭지각이기 때문입니다 이것을 적어보도록 하겠습니다 C- 이 점에 기호를 붙이겠습니다- 각 CED는 각 BEA 와 같거나 합동일 것입니다 이게 뭘까요? 이것은 이 두 삼각형이 합동이라는 것을 보여줍니다. 왜냐하면 합동인 변이 있고 사이각과 또 다른 변이 있기 때문입니다 이제 삼각형이, 이것을 노란색으로 유지하도록 하겠습니다 삼각형 AEB가 삼각형 DEC와 합동이라는 것을 SAS 합동에 의해 압니다. SAS합동에 의해서 좋습니다. 이제, 두 삼각형이 합동이라는 것을 알면 모든 대응변들과 대응각들이 합동이라는 것을 압니다 예를 들면, 각 CDE가 각 BAE와 합동이라는 것을 압니다 이것은 그저 합동인 삼각형의 대응각일 뿐입니다 그리고 이제 만약 엇각이 합동이라면 평행할 수 있는 두 선들의 횡단선이 있습니다. 그리고 엇각이 같다는 것이 보이네요 이 둘은 후보 엇각입니다 그리고 그들은 합동입니다 따라서, AB는 CD와 평행이어야만 합니다 그러니까 AB 화살표 하나만 그리겠습니다 AB는 반드시 CD화 평행이어야 합니다 평행한 선들의 엇각이 같다는 것에 의해서 입니다 간단하게 적고 있습니다 수수께끼같은 글씨들을 용서하세요 제가 말로 하고 있지만요 그리고 이제 정확히 같은 방법으로 방금까지 이 두 변들이 평행하다는 것을 증명했고 정확히 같은 방식으로 이 두 변들도 평행하다는 것을 보일 수 있습니다 이것을 다 적지는 않겠습니다 이 둘이 합동이라는 것을 보여주는 것은 정확히 같은 증명입니다 먼저, 이 각이 이 각과 합동이라는 것을 압니다 바로 여기 있습니다 그리고, 또, 제가 다 적도록 하는 편이 낫겠습니다. 각 AEC가 각 DEB와 합동이라는 것도 압니다 이들은 맞꼭지각입니다 이것은 이 위에 있는 이유와 같습니다 맞꼭지각입니다 이제 삼각형 AEC가 삼각형 DEB와 SAS합동으로 인해 반드시 합동이어야 하는 것이 보입니다 그리고, 이제, 삼각형 AEC가 반드시 삼각형 DEB와 SAS합동으로 인해 합동이어야 합니다 대응각들이 합동이어야 한다는 사실은 이제 알 것입니다 그러니까, 각이, 예를 들어 각 CAE가 각 BDE와 반드시 같아야 한다는 것을 알기 때문에 그리고 이것은 합동인 삼각형의 대응각입니다 따라서, CAE 새로운 색을 쓰도록 하겠습니다 CAE는 BDE와 합동이어야 합니다 이제 여기 횡단선이 있습니다 엇각들 역시 합동입니다 횡단선과 교차하는 두 선은 반드시 평행이어야 합니다 따라서, 이것이 저것과 평행이어야 됩니다 AC는 반드시 BD와 평행해야 합니다 엇각이 같기 때문입니다 그리고 이제 끝났습니다 대각선이 서로를 이등분한다는 것을 방금 증명했습니다 만약 이것을 주어진 조건으로 생각한다면 "이 사변형의 대변은 평행이어야 돼 그러면 이 사각형 ABCD가 평행사변형이야" 라고 말할 수 있습니다