비례식 문제 해결하기: 쿠키

오트밀쿠키 레시피를 보면 오트밀 세 컵마다 두 컵의 밀가루가 필요합니다 그럼 오트밀 아홉 컵짜리 커다란 쿠키를 만들 때는 밀가루가 얼만큼 필요할까요? 한 번 살펴봅시다 오트밀 세 컵을 쓸 때 마다 밀가루 두 컵이라고 했고 우리는 오트밀 아홉 컵짜리 거대쿠키에 들어가는 밀가루의 양을 구해야 합니다 오트밀 아홉 컵을 쓰는 쿠키에 대한 식도 적어볼게요 아홉 컵의 오트밀 이 문제를 해결하는 데에는 여러 가지 방법이 있는데 우선 그 중에서 첫번째 방법부터 보여드릴게요 우리는 오트밀 세컵마다 밀가루 두 컵이 필요하다는 걸 알아요 하지만 9컵의 오트밀을 쓸 때 밀가루가 얼마나 필요한지를 모르죠 그게 바로 우리가 풀어야 할 문제입니다 세 컵에서 아홉 컵으로 오트밀 양이 늘어나면 그 차이는 얼마나 되는 걸까요? 우리는 오트밀을 3배 더 사용하는 것입니다 그렇죠? 그러니까 3을 곱해주는 거에요 3컵 x 3 = 9컵 밀가루를 오트밀과 같은 비율로 사용하려면 똑같이 3배를 해주면 되겠지요! 밀가루에 3을 곱하면... 2x3=6 컵이 필요하겠네요 이 문제를 푸는 두번째 방법은 비례식을 만들어서 문제를 해결하는 것인데요 밀가루 두 컵 나누기 오트밀 3컵이 ?컵의 밀가루 나누기 오트밀 아홉 컵과 같다는 식을 세웁니다 참고로 저는 첫번째 방법이 더 좋아요 제일 보편적인 방법이잖아요 오트밀을 세 배 하면 밀가루도 똑같이 세 배 해주는게. 근데 방금 적은 것처럼 등식을 만들면 계산만 조금 하면 됩니다 어떤 사람들은 '교차 곱셈법'이라고 부르기도 하는데요, 이 방법을 써서 한번 계산을 해보겠습니다 일반적으로 이런 비례식에서 교차 곱셈을 한다는 건 대각선(X모양)으로 곱셈을 해주는 것이라고 생각하면 됩니다 그래서 교차 곱셈법을 이용해 계산해보면, 2 x 9 = ? x 3이라는 거죠 그러면 18 = ? x 3 이 됩니다 그러면 (우리가 필요한 밀가루의 양) x 3이 18이 됩니다 3을 곱해서 18이 되는 수라면 바로 6이겠지요 이렇게 우리는 ?가 6이라는 걸 알 수 있습니다 두 방법에서 구한 답이 모두 같네요 교차곱셈이 어떻게 가능한건지 궁금하시죠? 이런 비례식을 세우게 되면 왜 대각선으로 곱하는 교차 곱셈이 성립하는지 궁금하실 거에요 그것은 바로 대수에서부터 나옵니다 우선 이 부분을 간단하게 x로 만들고 시작할게요 2/3=x/9 대수에서는 좌변과 우변이 등식으로 연결되면 서로 그 양이 같다는 전제를 가집니다 그러니까 좌변에 무언가를 하면 반드시 같은 것을 우변에도 해서 등식이 성립하게 만들어야 합니다 우리는 지금 이 식을 간단하게 만들고 싶은 거니까 지금 우변에는 x/9라는 분수가 있습니다 여기서 우변에 x만 남기기 위해서는 어떤 수를 곱하면 될까요? x가 무엇인지 구할 수 있게 말이죠 우변에 x만 남기기 위해서는 분모 9를 없애야 하니 9를 곱해주면 되겠네요 우변에 9를 곱했으니 좌변에도 똑같이 곱해줘야 합니다 양 변에 대한 등식이 성립하려면 좌변에 한 일을 똑같이 우변에도 적용해야 하기 때문이죠 양쪽이 같은 값을 가질 수 있도록 오른쪽에는 9가 없어지고 x만이 남게 됩니다 좌변에 있던 2/3에도 역시 3을 곱해줘야겠지요 식으로 표현하자면 9 *2/3 = 18/3 = 6 오늘 보여드린 세 가지 풀이는 모두 보편적인 방법입니다 제가 제일 보여드리고 싶었던 것은 교차곱셈법이 대수의 관점에서 어떻게 성립하는지 였는데요 이러한 간단한 문제들은 여러분이 그냥 기본 상식을 이용해서 푸셔도 무관합니다 오트밀의 양을 3배로 늘리면 당연히 밀가루도 3배라는 것처럼요